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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.56

r=0.56

この級数の和は次のようになります:

s = 780

s=780

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 500 \cdot {0.56}^{n - 1}

a_n=500*0.56^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

500, 280, 156.8, 87.80800000000002, 49.17248000000002, 27.53658880000001, 15.420489728000009, 8.635474247680005, 4.835865578700804, 2.7080847240724504

500,280,156.8,87.80800000000002,49.17248000000002,27.53658880000001,15.420489728000009,8.635474247680005,4.835865578700804,2.7080847240724504

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{280}{500} = 0.56$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.56$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 500$ 、共通比数: $r = 0.56$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 500 * ((1 - {0.56}^{2}) / (1 - 0.56))$

$s_{2} = 500 * ((1 - 0.31360000000000005) / (1 - 0.56))$

$s_{2} = 500 * (0.6863999999999999 / (1 - 0.56))$

$s_{2} = 500 * (0.6863999999999999 / 0.43999999999999995)$

$s_{2} = 500 \cdot 1.56$

$s_{2} = 780$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 500$ と共通比数: $r = 0.56$ を数式に代入します。

$a_{n} = 500 \cdot {0.56}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 500$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot {0.56}^{2 - 1} = 500 \cdot {0.56}^{1} = 500 \cdot 0.56 = 280$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot {0.56}^{3 - 1} = 500 \cdot {0.56}^{2} = 500 \cdot 0.31360000000000005 = 156.8$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot {0.56}^{4 - 1} = 500 \cdot {0.56}^{3} = 500 \cdot 0.17561600000000005 = 87.80800000000002$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot {0.56}^{5 - 1} = 500 \cdot {0.56}^{4} = 500 \cdot 0.09834496000000004 = 49.17248000000002$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot {0.56}^{6 - 1} = 500 \cdot {0.56}^{5} = 500 \cdot 0.05507317760000002 = 27.53658880000001$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot {0.56}^{7 - 1} = 500 \cdot {0.56}^{6} = 500 \cdot 0.030840979456000017 = 15.420489728000009$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot {0.56}^{8 - 1} = 500 \cdot {0.56}^{7} = 500 \cdot 0.01727094849536001 = 8.635474247680005$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot {0.56}^{9 - 1} = 500 \cdot {0.56}^{8} = 500 \cdot 0.009671731157401607 = 4.835865578700804$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 500 \cdot {0.56}^{10 - 1} = 500 \cdot {0.56}^{9} = 500 \cdot 0.005416169448144901 = 2.7080847240724504$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列