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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.4

r=1.4

この級数の和は次のようになります:

s = 120

s=120

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 50 \cdot {1.4}^{n - 1}

a_n=50*1.4^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

50, 70, 97.99999999999999, 137.19999999999996, 192.07999999999996, 268.9119999999999, 376.47679999999986, 527.0675199999997, 737.8945279999996, 1033.0523391999996

50,70,97.99999999999999,137.19999999999996,192.07999999999996,268.9119999999999,376.47679999999986,527.0675199999997,737.8945279999996,1033.0523391999996

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{70}{50} = 1.4$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.4$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 50$ 、共通比数: $r = 1.4$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 50 * ((1 - {1.4}^{2}) / (1 - 1.4))$

$s_{2} = 50 * ((1 - 1.9599999999999997) / (1 - 1.4))$

$s_{2} = 50 * (- 0.9599999999999997 / (1 - 1.4))$

$s_{2} = 50 * (- 0.9599999999999997 / - 0.3999999999999999)$

$s_{2} = 50 \cdot 2.4$

$s_{2} = 120$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 50$ と共通比数: $r = 1.4$ を数式に代入します。

$a_{n} = 50 \cdot {1.4}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 50$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.4}^{2 - 1} = 50 \cdot {1.4}^{1} = 50 \cdot 1.4 = 70$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.4}^{3 - 1} = 50 \cdot {1.4}^{2} = 50 \cdot 1.9599999999999997 = 97.99999999999999$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.4}^{4 - 1} = 50 \cdot {1.4}^{3} = 50 \cdot 2.7439999999999993 = 137.19999999999996$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.4}^{5 - 1} = 50 \cdot {1.4}^{4} = 50 \cdot 3.8415999999999992 = 192.07999999999996$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.4}^{6 - 1} = 50 \cdot {1.4}^{5} = 50 \cdot 5.378239999999998 = 268.9119999999999$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.4}^{7 - 1} = 50 \cdot {1.4}^{6} = 50 \cdot 7.529535999999998 = 376.47679999999986$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.4}^{8 - 1} = 50 \cdot {1.4}^{7} = 50 \cdot 10.541350399999995 = 527.0675199999997$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.4}^{9 - 1} = 50 \cdot {1.4}^{8} = 50 \cdot 14.757890559999993 = 737.8945279999996$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.4}^{10 - 1} = 50 \cdot {1.4}^{9} = 50 \cdot 20.66104678399999 = 1033.0523391999996$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列