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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.08

r=1.08

この級数の和は次のようになります:

s = 103

s=103

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 50 \cdot {1.08}^{n - 1}

a_n=50*1.08^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

50, 54, 58.32000000000001, 62.985600000000005, 68.02444800000002, 73.46640384000003, 79.34371614720003, 85.69121343897605, 92.54651051409412, 99.95023135522166

50,54,58.32000000000001,62.985600000000005,68.02444800000002,73.46640384000003,79.34371614720003,85.69121343897605,92.54651051409412,99.95023135522166

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{54}{50} = 1.08$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.08$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 50$ 、共通比数: $r = 1.08$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 50 * ((1 - {1.08}^{2}) / (1 - 1.08))$

$s_{2} = 50 * ((1 - 1.1664) / (1 - 1.08))$

$s_{2} = 50 * (- 0.1664000000000001 / (1 - 1.08))$

$s_{2} = 50 * (- 0.1664000000000001 / - 0.08000000000000007)$

$s_{2} = 50 \cdot 2.0799999999999996$

$s_{2} = 103.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 50$ と共通比数: $r = 1.08$ を数式に代入します。

$a_{n} = 50 \cdot {1.08}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 50$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.08}^{2 - 1} = 50 \cdot {1.08}^{1} = 50 \cdot 1.08 = 54$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.08}^{3 - 1} = 50 \cdot {1.08}^{2} = 50 \cdot 1.1664 = 58.32000000000001$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.08}^{4 - 1} = 50 \cdot {1.08}^{3} = 50 \cdot 1.2597120000000002 = 62.985600000000005$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.08}^{5 - 1} = 50 \cdot {1.08}^{4} = 50 \cdot 1.3604889600000003 = 68.02444800000002$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.08}^{6 - 1} = 50 \cdot {1.08}^{5} = 50 \cdot 1.4693280768000005 = 73.46640384000003$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.08}^{7 - 1} = 50 \cdot {1.08}^{6} = 50 \cdot 1.5868743229440005 = 79.34371614720003$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.08}^{8 - 1} = 50 \cdot {1.08}^{7} = 50 \cdot 1.7138242687795209 = 85.69121343897605$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.08}^{9 - 1} = 50 \cdot {1.08}^{8} = 50 \cdot 1.8509302102818825 = 92.54651051409412$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {1.08}^{10 - 1} = 50 \cdot {1.08}^{9} = 50 \cdot 1.9990046271044333 = 99.95023135522166$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列