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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7

r=0.7

この級数の和は次のようになります:

s = 84

s=84

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 50 \cdot {0.7}^{n - 1}

a_n=50*0.7^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

50, 35, 24.499999999999996, 17.149999999999995, 12.004999999999997, 8.403499999999998, 5.882449999999998, 4.117714999999998, 2.8824004999999984, 2.017680349999999

50,35,24.499999999999996,17.149999999999995,12.004999999999997,8.403499999999998,5.882449999999998,4.117714999999998,2.8824004999999984,2.017680349999999

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{35}{50} = 0.7$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 50$ 、共通比数: $r = 0.7$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 50 * ((1 - {0.7}^{2}) / (1 - 0.7))$

$s_{2} = 50 * ((1 - 0.48999999999999994) / (1 - 0.7))$

$s_{2} = 50 * (0.51 / (1 - 0.7))$

$s_{2} = 50 * (0.51 / 0.30000000000000004)$

$s_{2} = 50 \cdot 1.6999999999999997$

$s_{2} = 84.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 50$ と共通比数: $r = 0.7$ を数式に代入します。

$a_{n} = 50 \cdot {0.7}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 50$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {0.7}^{2 - 1} = 50 \cdot {0.7}^{1} = 50 \cdot 0.7 = 35$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {0.7}^{3 - 1} = 50 \cdot {0.7}^{2} = 50 \cdot 0.48999999999999994 = 24.499999999999996$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {0.7}^{4 - 1} = 50 \cdot {0.7}^{3} = 50 \cdot 0.3429999999999999 = 17.149999999999995$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {0.7}^{5 - 1} = 50 \cdot {0.7}^{4} = 50 \cdot 0.24009999999999995 = 12.004999999999997$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {0.7}^{6 - 1} = 50 \cdot {0.7}^{5} = 50 \cdot 0.16806999999999994 = 8.403499999999998$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {0.7}^{7 - 1} = 50 \cdot {0.7}^{6} = 50 \cdot 0.11764899999999996 = 5.882449999999998$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {0.7}^{8 - 1} = 50 \cdot {0.7}^{7} = 50 \cdot 0.08235429999999996 = 4.117714999999998$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {0.7}^{9 - 1} = 50 \cdot {0.7}^{8} = 50 \cdot 0.05764800999999997 = 2.8824004999999984$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 50 \cdot {0.7}^{10 - 1} = 50 \cdot {0.7}^{9} = 50 \cdot 0.04035360699999998 = 2.017680349999999$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列