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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 12.8

r=12.8

この級数の和は次のようになります:

s = 69

s=69

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 5 \cdot {12.8}^{n - 1}

a_n=5*12.8^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

5, 64, 819.2000000000002, 10485.760000000002, 134217.72800000003, 1717986.9184000003, 21990232.55552001, 281474976.7106561, 3602879701.8963985, 46116860184.2739

5,64,819.2000000000002,10485.760000000002,134217.72800000003,1717986.9184000003,21990232.55552001,281474976.7106561,3602879701.8963985,46116860184.2739

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{64}{5} = 12.8$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 12.8$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 5$ 、共通比数: $r = 12.8$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 5 * ((1 - {12.8}^{2}) / (1 - 12.8))$

$s_{2} = 5 * ((1 - 163.84000000000003) / (1 - 12.8))$

$s_{2} = 5 * (- 162.84000000000003 / (1 - 12.8))$

$s_{2} = 5 * (- 162.84000000000003 / - 11.8)$

$s_{2} = 5 \cdot 13.800000000000002$

$s_{2} = 69.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 5$ と共通比数: $r = 12.8$ を数式に代入します。

$a_{n} = 5 \cdot {12.8}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 5$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot {12.8}^{2 - 1} = 5 \cdot {12.8}^{1} = 5 \cdot 12.8 = 64$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot {12.8}^{3 - 1} = 5 \cdot {12.8}^{2} = 5 \cdot 163.84000000000003 = 819.2000000000002$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot {12.8}^{4 - 1} = 5 \cdot {12.8}^{3} = 5 \cdot 2097.1520000000005 = 10485.760000000002$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot {12.8}^{5 - 1} = 5 \cdot {12.8}^{4} = 5 \cdot 26843.545600000005 = 134217.72800000003$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot {12.8}^{6 - 1} = 5 \cdot {12.8}^{5} = 5 \cdot 343597.3836800001 = 1717986.9184000003$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot {12.8}^{7 - 1} = 5 \cdot {12.8}^{6} = 5 \cdot 4398046.511104002 = 21990232.55552001$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot {12.8}^{8 - 1} = 5 \cdot {12.8}^{7} = 5 \cdot 56294995.34213122 = 281474976.7106561$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot {12.8}^{9 - 1} = 5 \cdot {12.8}^{8} = 5 \cdot 720575940.3792797 = 3602879701.8963985$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot {12.8}^{10 - 1} = 5 \cdot {12.8}^{9} = 5 \cdot 9223372036.85478 = 46116860184.2739$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列