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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.5714285714285714

r=1.5714285714285714

この級数の和は次のようになります:

s = 125

s=125

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{n - 1}

a_n=49*1.5714285714285714^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

49, 77, 121, 190.14285714285714, 298.7959183673469, 469.536443148688, 737.8429820907954, 1159.4675432855356, 1822.0204251629846, 2863.174953827547

49,77,121,190.14285714285714,298.7959183673469,469.536443148688,737.8429820907954,1159.4675432855356,1822.0204251629846,2863.174953827547

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{77}{49} = 1.5714285714285714$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.5714285714285714$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 49$ 、共通比数: $r = 1.5714285714285714$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 49 * ((1 - {1.5714285714285714}^{2}) / (1 - 1.5714285714285714))$

$s_{2} = 49 * ((1 - 2.4693877551020407) / (1 - 1.5714285714285714))$

$s_{2} = 49 * (- 1.4693877551020407 / (1 - 1.5714285714285714))$

$s_{2} = 49 * (- 1.4693877551020407 / - 0.5714285714285714)$

$s_{2} = 49 \cdot 2.571428571428571$

$s_{2} = 125.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 49$ と共通比数: $r = 1.5714285714285714$ を数式に代入します。

$a_{n} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 49$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{2 - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{1} = 49 \cdot 1.5714285714285714 = 77$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{3 - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{2} = 49 \cdot 2.4693877551020407 = 121$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{4 - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{3} = 49 \cdot 3.880466472303207 = 190.14285714285714$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{5 - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{4} = 49 \cdot 6.0978758850478965 = 298.7959183673469$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{6 - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{5} = 49 \cdot 9.582376390789552 = 469.536443148688$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{7 - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{6} = 49 \cdot 15.058020042669295 = 737.8429820907954$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{8 - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{7} = 49 \cdot 23.662602924194605 = 1159.4675432855356$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{9 - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{8} = 49 \cdot 37.18409030944866 = 1822.0204251629846$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{10 - 1} = 49 \cdot {1.5714285714285714}^{9} = 49 \cdot 58.4321419148479 = 2863.174953827547$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列