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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.4693877551020407

r=2.4693877551020407

この級数の和は次のようになります:

s = 169

s=169

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{n - 1}

a_n=49*2.4693877551020407^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

49, 121, 298.79591836734687, 737.8429820907953, 1822.0204251629846, 4499.274927443287, 11110.454412666078, 27436.020080257047, 67750.17203492046, 167301.4452290893

49,121,298.79591836734687,737.8429820907953,1822.0204251629846,4499.274927443287,11110.454412666078,27436.020080257047,67750.17203492046,167301.4452290893

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{121}{49} = 2.4693877551020407$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.4693877551020407$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 49$ 、共通比数: $r = 2.4693877551020407$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 49 * ((1 - {2.4693877551020407}^{2}) / (1 - 2.4693877551020407))$

$s_{2} = 49 * ((1 - 6.097875885047896) / (1 - 2.4693877551020407))$

$s_{2} = 49 * (- 5.097875885047896 / (1 - 2.4693877551020407))$

$s_{2} = 49 * (- 5.097875885047896 / - 1.4693877551020407)$

$s_{2} = 49 \cdot 3.4693877551020402$

$s_{2} = 169.99999999999997$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 49$ と共通比数: $r = 2.4693877551020407$ を数式に代入します。

$a_{n} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 49$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{2 - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{1} = 49 \cdot 2.4693877551020407 = 121$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{3 - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{2} = 49 \cdot 6.097875885047896 = 298.79591836734687$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{4 - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{3} = 49 \cdot 15.058020042669293 = 737.8429820907953$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{5 - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{4} = 49 \cdot 37.18409030944866 = 1822.0204251629846$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{6 - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{5} = 49 \cdot 91.82193729476097 = 4499.274927443287$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{7 - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{6} = 49 \cdot 226.74396760543016 = 11110.454412666078$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{8 - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{7} = 49 \cdot 559.918777148103 = 27436.020080257047$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{9 - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{8} = 49 \cdot 1382.6565721412337 = 67750.17203492046$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{10 - 1} = 49 \cdot {2.4693877551020407}^{9} = 49 \cdot 3414.315208756924 = 167301.4452290893$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列