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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5625

r=0.5625

この級数の和は次のようになります:

s = 75

s=75

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 48 \cdot {0.5625}^{n - 1}

a_n=48*0.5625^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

48, 27, 15.1875, 8.54296875, 4.805419921875, 2.7030487060546875, 1.5204648971557617, 0.855261504650116, 0.48108459636569023, 0.27061008545570076

48,27,15.1875,8.54296875,4.805419921875,2.7030487060546875,1.5204648971557617,0.855261504650116,0.48108459636569023,0.27061008545570076

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{27}{48} = 0.5625$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5625$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 48$ 、共通比数: $r = 0.5625$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 48 * ((1 - {0.5625}^{2}) / (1 - 0.5625))$

$s_{2} = 48 * ((1 - 0.31640625) / (1 - 0.5625))$

$s_{2} = 48 * (0.68359375 / (1 - 0.5625))$

$s_{2} = 48 * (0.68359375 / 0.4375)$

$s_{2} = 48 \cdot 1.5625$

$s_{2} = 75$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 48$ と共通比数: $r = 0.5625$ を数式に代入します。

$a_{n} = 48 \cdot {0.5625}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 48$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{2 - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{1} = 48 \cdot 0.5625 = 27$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{3 - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{2} = 48 \cdot 0.31640625 = 15.1875$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{4 - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{3} = 48 \cdot 0.177978515625 = 8.54296875$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{5 - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{4} = 48 \cdot 0.1001129150390625 = 4.805419921875$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{6 - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{5} = 48 \cdot 0.056313514709472656 = 2.7030487060546875$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{7 - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{6} = 48 \cdot 0.03167635202407837 = 1.5204648971557617$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{8 - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{7} = 48 \cdot 0.017817948013544083 = 0.855261504650116$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{9 - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{8} = 48 \cdot 0.010022595757618546 = 0.48108459636569023$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{10 - 1} = 48 \cdot {0.5625}^{9} = 48 \cdot 0.005637710113660432 = 0.27061008545570076$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列