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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.4042553191489362

r=1.4042553191489362

この級数の和は次のようになります:

s = 113

s=113

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{n - 1}

a_n=47*1.4042553191489362^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

47, 66, 92.68085106382979, 130.14757808963333, 182.76042880671915, 256.6423042817758, 360.39132090632353, 506.081429357816, 710.6675390982097, 997.9586719251455

47,66,92.68085106382979,130.14757808963333,182.76042880671915,256.6423042817758,360.39132090632353,506.081429357816,710.6675390982097,997.9586719251455

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{66}{47} = 1.4042553191489362$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.4042553191489362$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 47$ 、共通比数: $r = 1.4042553191489362$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 47 * ((1 - {1.4042553191489362}^{2}) / (1 - 1.4042553191489362))$

$s_{2} = 47 * ((1 - 1.9719330013580807) / (1 - 1.4042553191489362))$

$s_{2} = 47 * (- 0.9719330013580807 / (1 - 1.4042553191489362))$

$s_{2} = 47 * (- 0.9719330013580807 / - 0.4042553191489362)$

$s_{2} = 47 \cdot 2.404255319148936$

$s_{2} = 113$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 47$ と共通比数: $r = 1.4042553191489362$ を数式に代入します。

$a_{n} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 47$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{2 - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{1} = 47 \cdot 1.4042553191489362 = 66$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{3 - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{2} = 47 \cdot 1.9719330013580807 = 92.68085106382979$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{4 - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{3} = 47 \cdot 2.769097406162411 = 130.14757808963333$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{5 - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{4} = 47 \cdot 3.888519761845088 = 182.76042880671915$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{6 - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{5} = 47 \cdot 5.46047455918672 = 256.6423042817758$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{7 - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{6} = 47 \cdot 7.667900444815394 = 360.39132090632353$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{8 - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{7} = 47 \cdot 10.76768998633651 = 506.081429357816$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{9 - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{8} = 47 \cdot 15.120585938259781 = 710.6675390982097$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{10 - 1} = 47 \cdot {1.4042553191489362}^{9} = 47 \cdot 21.233163232449904 = 997.9586719251455$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列