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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7021276595744681

r=0.7021276595744681

この級数の和は次のようになります:

s = 80

s=80

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{n - 1}

a_n=47*0.7021276595744681^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

47, 33, 23.170212765957448, 16.268447261204166, 11.422526800419947, 8.020072008805494, 5.631114389161305, 3.9537611668579373, 2.7760450746023815, 1.9491380311037998

47,33,23.170212765957448,16.268447261204166,11.422526800419947,8.020072008805494,5.631114389161305,3.9537611668579373,2.7760450746023815,1.9491380311037998

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{33}{47} = 0.7021276595744681$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7021276595744681$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 47$ 、共通比数: $r = 0.7021276595744681$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 47 * ((1 - {0.7021276595744681}^{2}) / (1 - 0.7021276595744681))$

$s_{2} = 47 * ((1 - 0.4929832503395202) / (1 - 0.7021276595744681))$

$s_{2} = 47 * (0.5070167496604798 / (1 - 0.7021276595744681))$

$s_{2} = 47 * (0.5070167496604798 / 0.2978723404255319)$

$s_{2} = 47 \cdot 1.702127659574468$

$s_{2} = 80$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 47$ と共通比数: $r = 0.7021276595744681$ を数式に代入します。

$a_{n} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 47$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{2 - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{1} = 47 \cdot 0.7021276595744681 = 33$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{3 - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{2} = 47 \cdot 0.4929832503395202 = 23.170212765957448$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{4 - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{3} = 47 \cdot 0.3461371757703014 = 16.268447261204166$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{5 - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{4} = 47 \cdot 0.243032485115318 = 11.422526800419947$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{6 - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{5} = 47 \cdot 0.170639829974585 = 8.020072008805494$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{7 - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{6} = 47 \cdot 0.11981094445024053 = 5.631114389161305$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{8 - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{7} = 47 \cdot 0.08412257801825399 = 3.9537611668579373$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{9 - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{8} = 47 \cdot 0.05906478882132727 = 2.7760450746023815$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{10 - 1} = 47 \cdot {0.7021276595744681}^{9} = 47 \cdot 0.04147102193837872 = 1.9491380311037998$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列