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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.2222222222222223

r=2.2222222222222223

この級数の和は次のようになります:

s = 1450

s=1450

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{n - 1}

a_n=450*2.2222222222222223^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

450, 1000, 2222.2222222222226, 4938.2716049382725, 10973.936899862827, 24386.52644413962, 54192.280986976926, 120427.29108217097, 267616.2024048244, 594702.6720107209

450,1000,2222.2222222222226,4938.2716049382725,10973.936899862827,24386.52644413962,54192.280986976926,120427.29108217097,267616.2024048244,594702.6720107209

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{1000}{450} = 2.2222222222222223$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.2222222222222223$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 450$ 、共通比数: $r = 2.2222222222222223$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 450 * ((1 - {2.2222222222222223}^{2}) / (1 - 2.2222222222222223))$

$s_{2} = 450 * ((1 - 4.938271604938272) / (1 - 2.2222222222222223))$

$s_{2} = 450 * (- 3.938271604938272 / (1 - 2.2222222222222223))$

$s_{2} = 450 * (- 3.938271604938272 / - 1.2222222222222223)$

$s_{2} = 450 \cdot 3.2222222222222223$

$s_{2} = 1450$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 450$ と共通比数: $r = 2.2222222222222223$ を数式に代入します。

$a_{n} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 450$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{2 - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{1} = 450 \cdot 2.2222222222222223 = 1000$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{3 - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{2} = 450 \cdot 4.938271604938272 = 2222.2222222222226$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{4 - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{3} = 450 \cdot 10.973936899862828 = 4938.2716049382725$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{5 - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{4} = 450 \cdot 24.386526444139616 = 10973.936899862827$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{6 - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{5} = 450 \cdot 54.19228098697693 = 24386.52644413962$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{7 - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{6} = 450 \cdot 120.42729108217095 = 54192.280986976926$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{8 - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{7} = 450 \cdot 267.6162024048244 = 120427.29108217097$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{9 - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{8} = 450 \cdot 594.7026720107208 = 267616.2024048244$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{10 - 1} = 450 \cdot {2.2222222222222223}^{9} = 450 \cdot 1321.5614933571576 = 594702.6720107209$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列