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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.5555555555555556

r=1.5555555555555556

この級数の和は次のようになります:

s = 115

s=115

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{n - 1}

a_n=45*1.5555555555555556^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

45, 70, 108.88888888888889, 169.38271604938274, 263.48422496570646, 409.8643499466545, 637.5667665836847, 991.7705257968431, 1542.7541512395335, 2399.8397908170523

45,70,108.88888888888889,169.38271604938274,263.48422496570646,409.8643499466545,637.5667665836847,991.7705257968431,1542.7541512395335,2399.8397908170523

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{70}{45} = 1.5555555555555556$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.5555555555555556$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 45$ 、共通比数: $r = 1.5555555555555556$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 45 * ((1 - {1.5555555555555556}^{2}) / (1 - 1.5555555555555556))$

$s_{2} = 45 * ((1 - 2.419753086419753) / (1 - 1.5555555555555556))$

$s_{2} = 45 * (- 1.4197530864197532 / (1 - 1.5555555555555556))$

$s_{2} = 45 * (- 1.4197530864197532 / - 0.5555555555555556)$

$s_{2} = 45 \cdot 2.555555555555556$

$s_{2} = 115.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 45$ と共通比数: $r = 1.5555555555555556$ を数式に代入します。

$a_{n} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 45$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{2 - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{1} = 45 \cdot 1.5555555555555556 = 70$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{3 - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{2} = 45 \cdot 2.419753086419753 = 108.88888888888889$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{4 - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{3} = 45 \cdot 3.7640603566529496 = 169.38271604938274$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{5 - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{4} = 45 \cdot 5.855204999237921 = 263.48422496570646$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{6 - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{5} = 45 \cdot 9.108096665481211 = 409.8643499466545$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{7 - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{6} = 45 \cdot 14.168150368526328 = 637.5667665836847$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{8 - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{7} = 45 \cdot 22.039345017707625 = 991.7705257968431$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{9 - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{8} = 45 \cdot 34.283425583100744 = 1542.7541512395335$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{10 - 1} = 45 \cdot {1.5555555555555556}^{9} = 45 \cdot 53.32977312926783 = 2399.8397908170523$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列