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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.2222222222222223

r=1.2222222222222223

この級数の和は次のようになります:

s = 100

s=100

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{n - 1}

a_n=45*1.2222222222222223^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

45, 55.00000000000001, 67.22222222222223, 82.16049382716051, 100.41838134430729, 122.73357719859783, 150.00770546495292, 183.34275112383136, 224.08558470690502, 273.88238130843945

45,55.00000000000001,67.22222222222223,82.16049382716051,100.41838134430729,122.73357719859783,150.00770546495292,183.34275112383136,224.08558470690502,273.88238130843945

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{55}{45} = 1.2222222222222223$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.2222222222222223$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 45$ 、共通比数: $r = 1.2222222222222223$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 45 * ((1 - {1.2222222222222223}^{2}) / (1 - 1.2222222222222223))$

$s_{2} = 45 * ((1 - 1.4938271604938274) / (1 - 1.2222222222222223))$

$s_{2} = 45 * (- 0.49382716049382736 / (1 - 1.2222222222222223))$

$s_{2} = 45 * (- 0.49382716049382736 / - 0.22222222222222232)$

$s_{2} = 45 \cdot 2.2222222222222223$

$s_{2} = 100$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 45$ と共通比数: $r = 1.2222222222222223$ を数式に代入します。

$a_{n} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 45$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{2 - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{1} = 45 \cdot 1.2222222222222223 = 55.00000000000001$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{3 - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{2} = 45 \cdot 1.4938271604938274 = 67.22222222222223$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{4 - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{3} = 45 \cdot 1.825788751714678 = 82.16049382716051$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{5 - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{4} = 45 \cdot 2.231519585429051 = 100.41838134430729$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{6 - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{5} = 45 \cdot 2.7274128266355073 = 122.73357719859783$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{7 - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{6} = 45 \cdot 3.3335045658878424 = 150.00770546495292$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{8 - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{7} = 45 \cdot 4.074283358307364 = 183.34275112383136$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{9 - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{8} = 45 \cdot 4.979679660153445 = 224.08558470690502$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{10 - 1} = 45 \cdot {1.2222222222222223}^{9} = 45 \cdot 6.086275140187544 = 273.88238130843945$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列