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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7777777777777778

r=0.7777777777777778

この級数の和は次のようになります:

s = 80

s=80

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{n - 1}

a_n=45*0.7777777777777778^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

45, 35, 27.22222222222222, 21.172839506172842, 16.467764060356654, 12.808260935832953, 9.961980727870074, 7.748207232787837, 6.026383403279428, 4.687187091439555

45,35,27.22222222222222,21.172839506172842,16.467764060356654,12.808260935832953,9.961980727870074,7.748207232787837,6.026383403279428,4.687187091439555

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{35}{45} = 0.7777777777777778$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7777777777777778$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 45$ 、共通比数: $r = 0.7777777777777778$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 45 * ((1 - {0.7777777777777778}^{2}) / (1 - 0.7777777777777778))$

$s_{2} = 45 * ((1 - 0.6049382716049383) / (1 - 0.7777777777777778))$

$s_{2} = 45 * (0.3950617283950617 / (1 - 0.7777777777777778))$

$s_{2} = 45 * (0.3950617283950617 / 0.2222222222222222)$

$s_{2} = 45 \cdot 1.7777777777777777$

$s_{2} = 80$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 45$ と共通比数: $r = 0.7777777777777778$ を数式に代入します。

$a_{n} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 45$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{2 - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{1} = 45 \cdot 0.7777777777777778 = 35$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{3 - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{2} = 45 \cdot 0.6049382716049383 = 27.22222222222222$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{4 - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{3} = 45 \cdot 0.4705075445816187 = 21.172839506172842$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{5 - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{4} = 45 \cdot 0.3659503124523701 = 16.467764060356654$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{6 - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{5} = 45 \cdot 0.28462802079628785 = 12.808260935832953$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{7 - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{6} = 45 \cdot 0.22137734950822388 = 9.961980727870074$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{8 - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{7} = 45 \cdot 0.17218238295084082 = 7.748207232787837$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{9 - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{8} = 45 \cdot 0.13391963118398728 = 6.026383403279428$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{10 - 1} = 45 \cdot {0.7777777777777778}^{9} = 45 \cdot 0.10415971314310123 = 4.687187091439555$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列