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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5555555555555556

r=0.5555555555555556

この級数の和は次のようになります:

s = 70

s=70

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{n - 1}

a_n=45*0.5555555555555556^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

45, 25, 13.888888888888891, 7.716049382716051, 4.286694101508917, 2.3814967230605095, 1.3230537350336165, 0.7350298527964537, 0.408349918220252, 0.22686106567791783

45,25,13.888888888888891,7.716049382716051,4.286694101508917,2.3814967230605095,1.3230537350336165,0.7350298527964537,0.408349918220252,0.22686106567791783

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{25}{45} = 0.5555555555555556$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5555555555555556$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 45$ 、共通比数: $r = 0.5555555555555556$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 45 * ((1 - {0.5555555555555556}^{2}) / (1 - 0.5555555555555556))$

$s_{2} = 45 * ((1 - 0.308641975308642) / (1 - 0.5555555555555556))$

$s_{2} = 45 * (0.691358024691358 / (1 - 0.5555555555555556))$

$s_{2} = 45 * (0.691358024691358 / 0.4444444444444444)$

$s_{2} = 45 \cdot 1.5555555555555556$

$s_{2} = 70$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 45$ と共通比数: $r = 0.5555555555555556$ を数式に代入します。

$a_{n} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 45$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{2 - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{1} = 45 \cdot 0.5555555555555556 = 25$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{3 - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{2} = 45 \cdot 0.308641975308642 = 13.888888888888891$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{4 - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{3} = 45 \cdot 0.1714677640603567 = 7.716049382716051$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{5 - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{4} = 45 \cdot 0.09525986892242037 = 4.286694101508917$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{6 - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{5} = 45 \cdot 0.05292214940134466 = 2.3814967230605095$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{7 - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{6} = 45 \cdot 0.029401194111858143 = 1.3230537350336165$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{8 - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{7} = 45 \cdot 0.01633399672881008 = 0.7350298527964537$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{9 - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{8} = 45 \cdot 0.009074442627116711 = 0.408349918220252$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{10 - 1} = 45 \cdot {0.5555555555555556}^{9} = 45 \cdot 0.005041357015064841 = 0.22686106567791783$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列