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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.9090909090909091

r=0.9090909090909091

この級数の和は次のようになります:

s = 84

s=84

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{n - 1}

a_n=44*0.9090909090909091^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

44, 40, 36.36363636363636, 33.05785123966942, 30.052592036063107, 27.32053821460282, 24.8368529223662, 22.578957202151095, 20.526324729228264, 18.66029520838933

44,40,36.36363636363636,33.05785123966942,30.052592036063107,27.32053821460282,24.8368529223662,22.578957202151095,20.526324729228264,18.66029520838933

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{40}{44} = 0.9090909090909091$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.9090909090909091$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 44$ 、共通比数: $r = 0.9090909090909091$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 44 * ((1 - {0.9090909090909091}^{2}) / (1 - 0.9090909090909091))$

$s_{2} = 44 * ((1 - 0.8264462809917354) / (1 - 0.9090909090909091))$

$s_{2} = 44 * (0.17355371900826455 / (1 - 0.9090909090909091))$

$s_{2} = 44 * (0.17355371900826455 / 0.09090909090909094)$

$s_{2} = 44 \cdot 1.9090909090909094$

$s_{2} = 84.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 44$ と共通比数: $r = 0.9090909090909091$ を数式に代入します。

$a_{n} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 44$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{2 - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{1} = 44 \cdot 0.9090909090909091 = 40$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{3 - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{2} = 44 \cdot 0.8264462809917354 = 36.36363636363636$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{4 - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{3} = 44 \cdot 0.7513148009015777 = 33.05785123966942$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{5 - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{4} = 44 \cdot 0.6830134553650706 = 30.052592036063107$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{6 - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{5} = 44 \cdot 0.620921323059155 = 27.32053821460282$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{7 - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{6} = 44 \cdot 0.5644739300537773 = 24.8368529223662$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{8 - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{7} = 44 \cdot 0.5131581182307067 = 22.578957202151095$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{9 - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{8} = 44 \cdot 0.4665073802097333 = 20.526324729228264$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{10 - 1} = 44 \cdot {0.9090909090909091}^{9} = 44 \cdot 0.4240976183724848 = 18.66029520838933$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

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幾何学的な数列