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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6904761904761905

r=0.6904761904761905

この級数の和は次のようになります:

s = 71

s=71

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{n - 1}

a_n=42*0.6904761904761905^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

42, 29, 20.023809523809526, 13.82596371882086, 9.546498758233453, 6.591630094970716, 4.55136363700359, 3.142608225550098, 2.1698961557369723, 1.498261631342195

42,29,20.023809523809526,13.82596371882086,9.546498758233453,6.591630094970716,4.55136363700359,3.142608225550098,2.1698961557369723,1.498261631342195

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{29}{42} = 0.6904761904761905$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6904761904761905$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 42$ 、共通比数: $r = 0.6904761904761905$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 42 * ((1 - {0.6904761904761905}^{2}) / (1 - 0.6904761904761905))$

$s_{2} = 42 * ((1 - 0.4767573696145125) / (1 - 0.6904761904761905))$

$s_{2} = 42 * (0.5232426303854876 / (1 - 0.6904761904761905))$

$s_{2} = 42 * (0.5232426303854876 / 0.30952380952380953)$

$s_{2} = 42 \cdot 1.6904761904761905$

$s_{2} = 71$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 42$ と共通比数: $r = 0.6904761904761905$ を数式に代入します。

$a_{n} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 42$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{2 - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{1} = 42 \cdot 0.6904761904761905 = 29$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{3 - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{2} = 42 \cdot 0.4767573696145125 = 20.023809523809526$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{4 - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{3} = 42 \cdot 0.32918961235287764 = 13.82596371882086$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{5 - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{4} = 42 \cdot 0.22729758948174886 = 9.546498758233453$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{6 - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{5} = 42 \cdot 0.15694357368977896 = 6.591630094970716$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{7 - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{6} = 42 \cdot 0.10836580088103785 = 4.55136363700359$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{8 - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{7} = 42 \cdot 0.07482400537024042 = 3.142608225550098$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{9 - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{8} = 42 \cdot 0.05166419418421362 = 2.1698961557369723$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{10 - 1} = 42 \cdot {0.6904761904761905}^{9} = 42 \cdot 0.035672895984337975 = 1.498261631342195$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列