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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.2857142857142857

r=0.2857142857142857

この級数の和は次のようになります:

s = 54

s=54

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{n - 1}

a_n=42*0.2857142857142857^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

42, 12, 3.4285714285714284, 0.9795918367346937, 0.2798833819241982, 0.07996668054977091, 0.022847623014220258, 0.0065278922897772165, 0.00186511208279349, 0.0005328891665124257

42,12,3.4285714285714284,0.9795918367346937,0.2798833819241982,0.07996668054977091,0.022847623014220258,0.0065278922897772165,0.00186511208279349,0.0005328891665124257

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{12}{42} = 0.2857142857142857$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.2857142857142857$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 42$ 、共通比数: $r = 0.2857142857142857$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 42 * ((1 - {0.2857142857142857}^{2}) / (1 - 0.2857142857142857))$

$s_{2} = 42 * ((1 - 0.08163265306122448) / (1 - 0.2857142857142857))$

$s_{2} = 42 * (0.9183673469387755 / (1 - 0.2857142857142857))$

$s_{2} = 42 * (0.9183673469387755 / 0.7142857142857143)$

$s_{2} = 42 \cdot 1.2857142857142858$

$s_{2} = 54.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 42$ と共通比数: $r = 0.2857142857142857$ を数式に代入します。

$a_{n} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 42$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{2 - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{1} = 42 \cdot 0.2857142857142857 = 12$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{3 - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{2} = 42 \cdot 0.08163265306122448 = 3.4285714285714284$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{4 - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{3} = 42 \cdot 0.02332361516034985 = 0.9795918367346937$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{5 - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{4} = 42 \cdot 0.006663890045814243 = 0.2798833819241982$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{6 - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{5} = 42 \cdot 0.001903968584518355 = 0.07996668054977091$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{7 - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{6} = 42 \cdot 0.0005439910241481013 = 0.022847623014220258$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{8 - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{7} = 42 \cdot 0.00015542600689945753 = 0.0065278922897772165$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{9 - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{8} = 42 \cdot 4.440743054270215 E - 05 = 0.00186511208279349$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{10 - 1} = 42 \cdot {0.2857142857142857}^{9} = 42 \cdot 1.2687837297914898 E - 05 = 0.0005328891665124257$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列