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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.4444444444444444

r=0.4444444444444444

この級数の和は次のようになります:

s = 585

s=585

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{n - 1}

a_n=405*0.4444444444444444^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

405, 180, 80, 35.55555555555555, 15.802469135802466, 7.023319615912206, 3.1214753848498695, 1.3873223932666086, 0.6165877303407149, 0.27403899126253994

405,180,80,35.55555555555555,15.802469135802466,7.023319615912206,3.1214753848498695,1.3873223932666086,0.6165877303407149,0.27403899126253994

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{180}{405} = 0.4444444444444444$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.4444444444444444$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 405$ 、共通比数: $r = 0.4444444444444444$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 405 * ((1 - {0.4444444444444444}^{2}) / (1 - 0.4444444444444444))$

$s_{2} = 405 * ((1 - 0.19753086419753085) / (1 - 0.4444444444444444))$

$s_{2} = 405 * (0.8024691358024691 / (1 - 0.4444444444444444))$

$s_{2} = 405 * (0.8024691358024691 / 0.5555555555555556)$

$s_{2} = 405 \cdot 1.4444444444444444$

$s_{2} = 585$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 405$ と共通比数: $r = 0.4444444444444444$ を数式に代入します。

$a_{n} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 405$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{2 - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{1} = 405 \cdot 0.4444444444444444 = 180$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{3 - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{2} = 405 \cdot 0.19753086419753085 = 80$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{4 - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{3} = 405 \cdot 0.08779149519890259 = 35.55555555555555$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{5 - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{4} = 405 \cdot 0.039018442310623375 = 15.802469135802466$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{6 - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{5} = 405 \cdot 0.01734152991583261 = 7.023319615912206$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{7 - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{6} = 405 \cdot 0.007707346629258937 = 3.1214753848498695$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{8 - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{7} = 405 \cdot 0.0034254873907817495 = 1.3873223932666086$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{9 - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{8} = 405 \cdot 0.001522438840347444 = 0.6165877303407149$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{10 - 1} = 405 \cdot {0.4444444444444444}^{9} = 405 \cdot 0.000676639484598864 = 0.27403899126253994$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列