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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.075

r=2.075

この級数の和は次のようになります:

s = 1230

s=1230

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 400 \cdot {2.075}^{n - 1}

a_n=400*2.075^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

400, 830.0000000000001, 1722.2500000000005, 3573.6687500000007, 7415.362656250002, 15386.877511718756, 31927.77083681642, 66250.12448639408, 137469.00830926772, 285248.1922417306

400,830.0000000000001,1722.2500000000005,3573.6687500000007,7415.362656250002,15386.877511718756,31927.77083681642,66250.12448639408,137469.00830926772,285248.1922417306

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{830}{400} = 2.075$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.075$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 400$ 、共通比数: $r = 2.075$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 400 * ((1 - {2.075}^{2}) / (1 - 2.075))$

$s_{2} = 400 * ((1 - 4.305625000000001) / (1 - 2.075))$

$s_{2} = 400 * (- 3.305625000000001 / (1 - 2.075))$

$s_{2} = 400 * (- 3.305625000000001 / - 1.0750000000000002)$

$s_{2} = 400 \cdot 3.075$

$s_{2} = 1230$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 400$ と共通比数: $r = 2.075$ を数式に代入します。

$a_{n} = 400 \cdot {2.075}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 400$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 400 \cdot {2.075}^{2 - 1} = 400 \cdot {2.075}^{1} = 400 \cdot 2.075 = 830.0000000000001$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 400 \cdot {2.075}^{3 - 1} = 400 \cdot {2.075}^{2} = 400 \cdot 4.305625000000001 = 1722.2500000000005$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 400 \cdot {2.075}^{4 - 1} = 400 \cdot {2.075}^{3} = 400 \cdot 8.934171875000002 = 3573.6687500000007$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 400 \cdot {2.075}^{5 - 1} = 400 \cdot {2.075}^{4} = 400 \cdot 18.538406640625006 = 7415.362656250002$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 400 \cdot {2.075}^{6 - 1} = 400 \cdot {2.075}^{5} = 400 \cdot 38.46719377929689 = 15386.877511718756$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 400 \cdot {2.075}^{7 - 1} = 400 \cdot {2.075}^{6} = 400 \cdot 79.81942709204105 = 31927.77083681642$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 400 \cdot {2.075}^{8 - 1} = 400 \cdot {2.075}^{7} = 400 \cdot 165.62531121598522 = 66250.12448639408$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 400 \cdot {2.075}^{9 - 1} = 400 \cdot {2.075}^{8} = 400 \cdot 343.6725207731693 = 137469.00830926772$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 400 \cdot {2.075}^{10 - 1} = 400 \cdot {2.075}^{9} = 400 \cdot 713.1204806043264 = 285248.1922417306$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列