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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.05

r=1.05

この級数の和は次のようになります:

s = 81

s=81

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 40 \cdot {1.05}^{n - 1}

a_n=40*1.05^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

40, 42, 44.1, 46.30500000000001, 48.62025000000001, 51.051262500000014, 53.60382562500001, 56.28401690625002, 59.09821775156252, 62.05312863914065

40,42,44.1,46.30500000000001,48.62025000000001,51.051262500000014,53.60382562500001,56.28401690625002,59.09821775156252,62.05312863914065

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{42}{40} = 1.05$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.05$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 40$ 、共通比数: $r = 1.05$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 40 * ((1 - {1.05}^{2}) / (1 - 1.05))$

$s_{2} = 40 * ((1 - 1.1025) / (1 - 1.05))$

$s_{2} = 40 * (- 0.10250000000000004 / (1 - 1.05))$

$s_{2} = 40 * (- 0.10250000000000004 / - 0.050000000000000044)$

$s_{2} = 40 \cdot 2.049999999999999$

$s_{2} = 81.99999999999996$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 40$ と共通比数: $r = 1.05$ を数式に代入します。

$a_{n} = 40 \cdot {1.05}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 40$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {1.05}^{2 - 1} = 40 \cdot {1.05}^{1} = 40 \cdot 1.05 = 42$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {1.05}^{3 - 1} = 40 \cdot {1.05}^{2} = 40 \cdot 1.1025 = 44.1$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {1.05}^{4 - 1} = 40 \cdot {1.05}^{3} = 40 \cdot 1.1576250000000001 = 46.30500000000001$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {1.05}^{5 - 1} = 40 \cdot {1.05}^{4} = 40 \cdot 1.2155062500000002 = 48.62025000000001$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {1.05}^{6 - 1} = 40 \cdot {1.05}^{5} = 40 \cdot 1.2762815625000004 = 51.051262500000014$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {1.05}^{7 - 1} = 40 \cdot {1.05}^{6} = 40 \cdot 1.3400956406250004 = 53.60382562500001$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {1.05}^{8 - 1} = 40 \cdot {1.05}^{7} = 40 \cdot 1.4071004226562505 = 56.28401690625002$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {1.05}^{9 - 1} = 40 \cdot {1.05}^{8} = 40 \cdot 1.477455443789063 = 59.09821775156252$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {1.05}^{10 - 1} = 40 \cdot {1.05}^{9} = 40 \cdot 1.5513282159785162 = 62.05312863914065$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列