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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.375

r=0.375

この級数の和は次のようになります:

s = 55

s=55

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 40 \cdot {0.375}^{n - 1}

a_n=40*0.375^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

40, 15, 5.625, 2.109375, 0.791015625, 0.296630859375, 0.111236572265625, 0.041713714599609375, 0.015642642974853516, 0.005865991115570068

40,15,5.625,2.109375,0.791015625,0.296630859375,0.111236572265625,0.041713714599609375,0.015642642974853516,0.005865991115570068

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{15}{40} = 0.375$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.375$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 40$ 、共通比数: $r = 0.375$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 40 * ((1 - {0.375}^{2}) / (1 - 0.375))$

$s_{2} = 40 * ((1 - 0.140625) / (1 - 0.375))$

$s_{2} = 40 * (0.859375 / (1 - 0.375))$

$s_{2} = 40 * (0.859375 / 0.625)$

$s_{2} = 40 \cdot 1.375$

$s_{2} = 55$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 40$ と共通比数: $r = 0.375$ を数式に代入します。

$a_{n} = 40 \cdot {0.375}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 40$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {0.375}^{2 - 1} = 40 \cdot {0.375}^{1} = 40 \cdot 0.375 = 15$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {0.375}^{3 - 1} = 40 \cdot {0.375}^{2} = 40 \cdot 0.140625 = 5.625$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {0.375}^{4 - 1} = 40 \cdot {0.375}^{3} = 40 \cdot 0.052734375 = 2.109375$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {0.375}^{5 - 1} = 40 \cdot {0.375}^{4} = 40 \cdot 0.019775390625 = 0.791015625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {0.375}^{6 - 1} = 40 \cdot {0.375}^{5} = 40 \cdot 0.007415771484375 = 0.296630859375$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {0.375}^{7 - 1} = 40 \cdot {0.375}^{6} = 40 \cdot 0.002780914306640625 = 0.111236572265625$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {0.375}^{8 - 1} = 40 \cdot {0.375}^{7} = 40 \cdot 0.0010428428649902344 = 0.041713714599609375$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {0.375}^{9 - 1} = 40 \cdot {0.375}^{8} = 40 \cdot 0.0003910660743713379 = 0.015642642974853516$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {0.375}^{10 - 1} = 40 \cdot {0.375}^{9} = 40 \cdot 0.0001466497778892517 = 0.005865991115570068$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列