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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.5

r=2.5

この級数の和は次のようになります:

s = 140

s=140

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 40 \cdot {2.5}^{n - 1}

a_n=40*2.5^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

40, 100, 250, 625, 1562.5, 3906.25, 9765.625, 24414.0625, 61035.15625, 152587.890625

40,100,250,625,1562.5,3906.25,9765.625,24414.0625,61035.15625,152587.890625

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{100}{40} = 2.5$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.5$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 40$ 、共通比数: $r = 2.5$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 40 * ((1 - {2.5}^{2}) / (1 - 2.5))$

$s_{2} = 40 * ((1 - 6.25) / (1 - 2.5))$

$s_{2} = 40 * (- 5.25 / (1 - 2.5))$

$s_{2} = 40 * (- 5.25 / - 1.5)$

$s_{2} = 40 \cdot 3.5$

$s_{2} = 140$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 40$ と共通比数: $r = 2.5$ を数式に代入します。

$a_{n} = 40 \cdot {2.5}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 40$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {2.5}^{2 - 1} = 40 \cdot {2.5}^{1} = 40 \cdot 2.5 = 100$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {2.5}^{3 - 1} = 40 \cdot {2.5}^{2} = 40 \cdot 6.25 = 250$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {2.5}^{4 - 1} = 40 \cdot {2.5}^{3} = 40 \cdot 15.625 = 625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {2.5}^{5 - 1} = 40 \cdot {2.5}^{4} = 40 \cdot 39.0625 = 1562.5$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {2.5}^{6 - 1} = 40 \cdot {2.5}^{5} = 40 \cdot 97.65625 = 3906.25$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {2.5}^{7 - 1} = 40 \cdot {2.5}^{6} = 40 \cdot 244.140625 = 9765.625$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {2.5}^{8 - 1} = 40 \cdot {2.5}^{7} = 40 \cdot 610.3515625 = 24414.0625$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {2.5}^{9 - 1} = 40 \cdot {2.5}^{8} = 40 \cdot 1525.87890625 = 61035.15625$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot {2.5}^{10 - 1} = 40 \cdot {2.5}^{9} = 40 \cdot 3814.697265625 = 152587.890625$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列