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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 20.25

r=20.25

この級数の和は次のようになります:

s = 85

s=85

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 4 \cdot {20.25}^{n - 1}

a_n=4*20.25^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

4, 81, 1640.25, 33215.0625, 672605.015625, 13620251.56640625, 275810094.21972656, 5585154407.949463, 113099376760.97662, 2290262379409.777

4,81,1640.25,33215.0625,672605.015625,13620251.56640625,275810094.21972656,5585154407.949463,113099376760.97662,2290262379409.777

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{81}{4} = 20.25$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 20.25$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 4$ 、共通比数: $r = 20.25$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 4 * ((1 - {20.25}^{2}) / (1 - 20.25))$

$s_{2} = 4 * ((1 - 410.0625) / (1 - 20.25))$

$s_{2} = 4 * (- 409.0625 / (1 - 20.25))$

$s_{2} = 4 * (- 409.0625 / - 19.25)$

$s_{2} = 4 \cdot 21.25$

$s_{2} = 85$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 4$ と共通比数: $r = 20.25$ を数式に代入します。

$a_{n} = 4 \cdot {20.25}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 4$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 4 \cdot {20.25}^{2 - 1} = 4 \cdot {20.25}^{1} = 4 \cdot 20.25 = 81$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 4 \cdot {20.25}^{3 - 1} = 4 \cdot {20.25}^{2} = 4 \cdot 410.0625 = 1640.25$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 4 \cdot {20.25}^{4 - 1} = 4 \cdot {20.25}^{3} = 4 \cdot 8303.765625 = 33215.0625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 4 \cdot {20.25}^{5 - 1} = 4 \cdot {20.25}^{4} = 4 \cdot 168151.25390625 = 672605.015625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 4 \cdot {20.25}^{6 - 1} = 4 \cdot {20.25}^{5} = 4 \cdot 3405062.8916015625 = 13620251.56640625$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 4 \cdot {20.25}^{7 - 1} = 4 \cdot {20.25}^{6} = 4 \cdot 68952523.55493164 = 275810094.21972656$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 4 \cdot {20.25}^{8 - 1} = 4 \cdot {20.25}^{7} = 4 \cdot 1396288601.9873657 = 5585154407.949463$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 4 \cdot {20.25}^{9 - 1} = 4 \cdot {20.25}^{8} = 4 \cdot 28274844190.244156 = 113099376760.97662$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 4 \cdot {20.25}^{10 - 1} = 4 \cdot {20.25}^{9} = 4 \cdot 572565594852.4442 = 2290262379409.777$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列