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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.512

r=0.512

この級数の和は次のようになります:

s = 567

s=567

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 375 \cdot {0.512}^{n - 1}

a_n=375*0.512^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

375, 192, 98.304, 50.331648, 25.769803776000003, 13.194139533312, 6.7553994410557445, 3.458764513820541, 1.7708874310761171, 0.9066943647109721

375,192,98.304,50.331648,25.769803776000003,13.194139533312,6.7553994410557445,3.458764513820541,1.7708874310761171,0.9066943647109721

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{192}{375} = 0.512$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.512$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 375$ 、共通比数: $r = 0.512$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 375 * ((1 - {0.512}^{2}) / (1 - 0.512))$

$s_{2} = 375 * ((1 - 0.262144) / (1 - 0.512))$

$s_{2} = 375 * (0.7378560000000001 / (1 - 0.512))$

$s_{2} = 375 * (0.7378560000000001 / 0.488)$

$s_{2} = 375 \cdot 1.5120000000000002$

$s_{2} = 567.0000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 375$ と共通比数: $r = 0.512$ を数式に代入します。

$a_{n} = 375 \cdot {0.512}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 375$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 375 \cdot {0.512}^{2 - 1} = 375 \cdot {0.512}^{1} = 375 \cdot 0.512 = 192$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 375 \cdot {0.512}^{3 - 1} = 375 \cdot {0.512}^{2} = 375 \cdot 0.262144 = 98.304$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 375 \cdot {0.512}^{4 - 1} = 375 \cdot {0.512}^{3} = 375 \cdot 0.134217728 = 50.331648$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 375 \cdot {0.512}^{5 - 1} = 375 \cdot {0.512}^{4} = 375 \cdot 0.06871947673600001 = 25.769803776000003$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 375 \cdot {0.512}^{6 - 1} = 375 \cdot {0.512}^{5} = 375 \cdot 0.035184372088832 = 13.194139533312$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 375 \cdot {0.512}^{7 - 1} = 375 \cdot {0.512}^{6} = 375 \cdot 0.018014398509481985 = 6.7553994410557445$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 375 \cdot {0.512}^{8 - 1} = 375 \cdot {0.512}^{7} = 375 \cdot 0.009223372036854777 = 3.458764513820541$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 375 \cdot {0.512}^{9 - 1} = 375 \cdot {0.512}^{8} = 375 \cdot 0.004722366482869646 = 1.7708874310761171$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 375 \cdot {0.512}^{10 - 1} = 375 \cdot {0.512}^{9} = 375 \cdot 0.002417851639229259 = 0.9066943647109721$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列