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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.6486486486486487

r=1.6486486486486487

この級数の和は次のようになります:

s = 98

s=98

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{n - 1}

a_n=37*1.6486486486486487^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

37, 61, 100.56756756756756, 165.80058436815193, 273.34690936371, 450.65301273476507, 742.9684804546127, 1224.8939812900371, 2019.4198069916831, 3329.3137358511535

37,61,100.56756756756756,165.80058436815193,273.34690936371,450.65301273476507,742.9684804546127,1224.8939812900371,2019.4198069916831,3329.3137358511535

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{61}{37} = 1.6486486486486487$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.6486486486486487$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 37$ 、共通比数: $r = 1.6486486486486487$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 37 * ((1 - {1.6486486486486487}^{2}) / (1 - 1.6486486486486487))$

$s_{2} = 37 * ((1 - 2.7180423666910154) / (1 - 1.6486486486486487))$

$s_{2} = 37 * (- 1.7180423666910154 / (1 - 1.6486486486486487))$

$s_{2} = 37 * (- 1.7180423666910154 / - 0.6486486486486487)$

$s_{2} = 37 \cdot 2.6486486486486487$

$s_{2} = 98$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 37$ と共通比数: $r = 1.6486486486486487$ を数式に代入します。

$a_{n} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 37$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{2 - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{1} = 37 \cdot 1.6486486486486487 = 61$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{3 - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{2} = 37 \cdot 2.7180423666910154 = 100.56756756756756$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{4 - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{3} = 37 \cdot 4.481096874814917 = 165.80058436815193$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{5 - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{4} = 37 \cdot 7.387754307127296 = 273.34690936371$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{6 - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{5} = 37 \cdot 12.17981115499365 = 450.65301273476507$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{7 - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{6} = 37 \cdot 20.08022920147602 = 742.9684804546127$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{8 - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{7} = 37 \cdot 33.105242737568574 = 1224.8939812900371$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{9 - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{8} = 37 \cdot 54.57891370247792 = 2019.4198069916831$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{10 - 1} = 37 \cdot {1.6486486486486487}^{9} = 37 \cdot 89.98145232030144 = 3329.3137358511535$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列