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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5714285714285714

r=0.5714285714285714

この級数の和は次のようになります:

s = 550

s=550

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{n - 1}

a_n=350*0.5714285714285714^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

350, 200, 114.28571428571428, 65.30612244897958, 37.31778425655976, 21.324448146605576, 12.18539894091747, 6.963085109095697, 3.9789057766261124, 2.27366044378635

350,200,114.28571428571428,65.30612244897958,37.31778425655976,21.324448146605576,12.18539894091747,6.963085109095697,3.9789057766261124,2.27366044378635

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{200}{350} = 0.5714285714285714$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5714285714285714$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 350$ 、共通比数: $r = 0.5714285714285714$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 350 * ((1 - {0.5714285714285714}^{2}) / (1 - 0.5714285714285714))$

$s_{2} = 350 * ((1 - 0.32653061224489793) / (1 - 0.5714285714285714))$

$s_{2} = 350 * (0.6734693877551021 / (1 - 0.5714285714285714))$

$s_{2} = 350 * (0.6734693877551021 / 0.4285714285714286)$

$s_{2} = 350 \cdot 1.5714285714285714$

$s_{2} = 550$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 350$ と共通比数: $r = 0.5714285714285714$ を数式に代入します。

$a_{n} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 350$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{2 - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{1} = 350 \cdot 0.5714285714285714 = 200$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{3 - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{2} = 350 \cdot 0.32653061224489793 = 114.28571428571428$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{4 - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{3} = 350 \cdot 0.1865889212827988 = 65.30612244897958$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{5 - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{4} = 350 \cdot 0.10662224073302788 = 37.31778425655976$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{6 - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{5} = 350 \cdot 0.06092699470458736 = 21.324448146605576$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{7 - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{6} = 350 \cdot 0.034815425545478486 = 12.18539894091747$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{8 - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{7} = 350 \cdot 0.019894528883130563 = 6.963085109095697$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{9 - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{8} = 350 \cdot 0.01136830221893175 = 3.9789057766261124$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{10 - 1} = 350 \cdot {0.5714285714285714}^{9} = 350 \cdot 0.006496172696532428 = 2.27366044378635$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列