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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.4285714285714284

r=2.4285714285714284

この級数の和は次のようになります:

s = 120

s=120

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{n - 1}

a_n=35*2.4285714285714284^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

35, 85, 206.4285714285714, 501.32653061224477, 1217.5072886297373, 2956.8034152436476, 7180.808294163143, 17439.105857253344, 42352.11422475812, 102855.13454584115

35,85,206.4285714285714,501.32653061224477,1217.5072886297373,2956.8034152436476,7180.808294163143,17439.105857253344,42352.11422475812,102855.13454584115

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{85}{35} = 2.4285714285714284$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.4285714285714284$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 35$ 、共通比数: $r = 2.4285714285714284$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 35 * ((1 - {2.4285714285714284}^{2}) / (1 - 2.4285714285714284))$

$s_{2} = 35 * ((1 - 5.897959183673469) / (1 - 2.4285714285714284))$

$s_{2} = 35 * (- 4.897959183673469 / (1 - 2.4285714285714284))$

$s_{2} = 35 * (- 4.897959183673469 / - 1.4285714285714284)$

$s_{2} = 35 \cdot 3.4285714285714284$

$s_{2} = 120$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 35$ と共通比数: $r = 2.4285714285714284$ を数式に代入します。

$a_{n} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 35$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{2 - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{1} = 35 \cdot 2.4285714285714284 = 85$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{3 - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{2} = 35 \cdot 5.897959183673469 = 206.4285714285714$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{4 - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{3} = 35 \cdot 14.323615160349851 = 501.32653061224477$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{5 - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{4} = 35 \cdot 34.78592253227821 = 1217.5072886297373$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{6 - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{5} = 35 \cdot 84.48009757838993 = 2956.8034152436476$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{7 - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{6} = 35 \cdot 205.16595126180408 = 7180.808294163143$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{8 - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{7} = 35 \cdot 498.26016735009557 = 17439.105857253344$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{9 - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{8} = 35 \cdot 1210.0604064216607 = 42352.11422475812$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{10 - 1} = 35 \cdot {2.4285714285714284}^{9} = 35 \cdot 2938.7181298811756 = 102855.13454584115$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列