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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.8571428571428572

r=1.8571428571428572

この級数の和は次のようになります:

s = 100

s=100

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{n - 1}

a_n=35*1.8571428571428572^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

35, 65, 120.71428571428572, 224.18367346938777, 416.34110787172017, 773.2049146189089, 1435.9519842922596, 2666.767970828482, 4952.569088681466, 9197.628307551295

35,65,120.71428571428572,224.18367346938777,416.34110787172017,773.2049146189089,1435.9519842922596,2666.767970828482,4952.569088681466,9197.628307551295

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{65}{35} = 1.8571428571428572$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.8571428571428572$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 35$ 、共通比数: $r = 1.8571428571428572$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 35 * ((1 - {1.8571428571428572}^{2}) / (1 - 1.8571428571428572))$

$s_{2} = 35 * ((1 - 3.4489795918367347) / (1 - 1.8571428571428572))$

$s_{2} = 35 * (- 2.4489795918367347 / (1 - 1.8571428571428572))$

$s_{2} = 35 * (- 2.4489795918367347 / - 0.8571428571428572)$

$s_{2} = 35 \cdot 2.857142857142857$

$s_{2} = 100$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 35$ と共通比数: $r = 1.8571428571428572$ を数式に代入します。

$a_{n} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 35$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{2 - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{1} = 35 \cdot 1.8571428571428572 = 65$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{3 - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{2} = 35 \cdot 3.4489795918367347 = 120.71428571428572$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{4 - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{3} = 35 \cdot 6.405247813411079 = 224.18367346938777$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{5 - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{4} = 35 \cdot 11.89546022490629 = 416.34110787172017$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{6 - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{5} = 35 \cdot 22.091568989111682 = 773.2049146189089$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{7 - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{6} = 35 \cdot 41.02719955120742 = 1435.9519842922596$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{8 - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{7} = 35 \cdot 76.19337059509948 = 2666.767970828482$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{9 - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{8} = 35 \cdot 141.5019739623276 = 4952.569088681466$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{10 - 1} = 35 \cdot {1.8571428571428572}^{9} = 35 \cdot 262.7893802157513 = 9197.628307551295$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列