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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6060606060606061

r=0.6060606060606061

この級数の和は次のようになります:

s = 53

s=53

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{n - 1}

a_n=33*0.6060606060606061^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

33, 20, 12.121212121212123, 7.346189164370983, 4.452235857194536, 2.698324761936082, 1.6353483405673226, 0.991120206404438, 0.6006789129723867, 0.3640478260438707

33,20,12.121212121212123,7.346189164370983,4.452235857194536,2.698324761936082,1.6353483405673226,0.991120206404438,0.6006789129723867,0.3640478260438707

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{20}{33} = 0.6060606060606061$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6060606060606061$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 33$ 、共通比数: $r = 0.6060606060606061$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 33 * ((1 - {0.6060606060606061}^{2}) / (1 - 0.6060606060606061))$

$s_{2} = 33 * ((1 - 0.36730945821854916) / (1 - 0.6060606060606061))$

$s_{2} = 33 * (0.6326905417814508 / (1 - 0.6060606060606061))$

$s_{2} = 33 * (0.6326905417814508 / 0.3939393939393939)$

$s_{2} = 33 \cdot 1.606060606060606$

$s_{2} = 53$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 33$ と共通比数: $r = 0.6060606060606061$ を数式に代入します。

$a_{n} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 33$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{2 - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{1} = 33 \cdot 0.6060606060606061 = 20$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{3 - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{2} = 33 \cdot 0.36730945821854916 = 12.121212121212123$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{4 - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{3} = 33 \cdot 0.22261179285972676 = 7.346189164370983$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{5 - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{4} = 33 \cdot 0.13491623809680411 = 4.452235857194536$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{6 - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{5} = 33 \cdot 0.08176741702836612 = 2.698324761936082$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{7 - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{6} = 33 \cdot 0.049556010320221895 = 1.6353483405673226$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{8 - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{7} = 33 \cdot 0.03003394564861933 = 0.991120206404438$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{9 - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{8} = 33 \cdot 0.018202391302193536 = 0.6006789129723867$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{10 - 1} = 33 \cdot {0.6060606060606061}^{9} = 33 \cdot 0.011031752304359719 = 0.3640478260438707$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列