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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.8214285714285714

r=0.8214285714285714

この級数の和は次のようになります:

s = 51

s=51

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{n - 1}

a_n=28*0.8214285714285714^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

28, 23, 18.89285714285714, 15.519132653061224, 12.747858965014576, 10.471455578404829, 8.601552796546825, 7.065561225734891, 5.803853863996517, 4.767451388282853

28,23,18.89285714285714,15.519132653061224,12.747858965014576,10.471455578404829,8.601552796546825,7.065561225734891,5.803853863996517,4.767451388282853

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{23}{28} = 0.8214285714285714$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.8214285714285714$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 28$ 、共通比数: $r = 0.8214285714285714$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 28 * ((1 - {0.8214285714285714}^{2}) / (1 - 0.8214285714285714))$

$s_{2} = 28 * ((1 - 0.6747448979591836) / (1 - 0.8214285714285714))$

$s_{2} = 28 * (0.3252551020408164 / (1 - 0.8214285714285714))$

$s_{2} = 28 * (0.3252551020408164 / 0.1785714285714286)$

$s_{2} = 28 \cdot 1.8214285714285716$

$s_{2} = 51.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 28$ と共通比数: $r = 0.8214285714285714$ を数式に代入します。

$a_{n} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 28$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{2 - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{1} = 28 \cdot 0.8214285714285714 = 23$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{3 - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{2} = 28 \cdot 0.6747448979591836 = 18.89285714285714$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{4 - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{3} = 28 \cdot 0.5542547376093294 = 15.519132653061224$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{5 - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{4} = 28 \cdot 0.4552806773219491 = 12.747858965014576$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{6 - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{5} = 28 \cdot 0.37398055637160105 = 10.471455578404829$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{7 - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{6} = 28 \cdot 0.3071983141623866 = 8.601552796546825$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{8 - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{7} = 28 \cdot 0.2523414723476747 = 7.065561225734891$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{9 - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{8} = 28 \cdot 0.20728049514273275 = 5.803853863996517$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{10 - 1} = 28 \cdot {0.8214285714285714}^{9} = 28 \cdot 0.1702661210101019 = 4.767451388282853$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列