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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.25925925925925924

r=0.25925925925925924

この級数の和は次のようになります:

s = 34

s=34

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{n - 1}

a_n=27*0.25925925925925924^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

27, 7, 1.8148148148148144, 0.4705075445816186, 0.12198343748412334, 0.03162533564403197, 0.008199161092897176, 0.002125708431491861, 0.0005511095933497417, 0.00014288026494252562

27,7,1.8148148148148144,0.4705075445816186,0.12198343748412334,0.03162533564403197,0.008199161092897176,0.002125708431491861,0.0005511095933497417,0.00014288026494252562

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{7}{27} = 0.25925925925925924$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.25925925925925924$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 27$ 、共通比数: $r = 0.25925925925925924$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 27 * ((1 - {0.25925925925925924}^{2}) / (1 - 0.25925925925925924))$

$s_{2} = 27 * ((1 - 0.0672153635116598) / (1 - 0.25925925925925924))$

$s_{2} = 27 * (0.9327846364883402 / (1 - 0.25925925925925924))$

$s_{2} = 27 * (0.9327846364883402 / 0.7407407407407407)$

$s_{2} = 27 \cdot 1.2592592592592593$

$s_{2} = 34$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 27$ と共通比数: $r = 0.25925925925925924$ を数式に代入します。

$a_{n} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 27$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{2 - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{1} = 27 \cdot 0.25925925925925924 = 7$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{3 - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{2} = 27 \cdot 0.0672153635116598 = 1.8148148148148144$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{4 - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{3} = 27 \cdot 0.01742620535487476 = 0.4705075445816186$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{5 - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{4} = 27 \cdot 0.004517905092004568 = 0.12198343748412334$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{6 - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{5} = 27 \cdot 0.0011713087275567397 = 0.03162533564403197$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{7 - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{6} = 27 \cdot 0.0003036726330702658 = 0.008199161092897176$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{8 - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{7} = 27 \cdot 7.872994190710595 E - 05 = 0.002125708431491861$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{9 - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{8} = 27 \cdot 2.04114664203608 E - 05 = 0.0005511095933497417$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{10 - 1} = 27 \cdot {0.25925925925925924}^{9} = 27 \cdot 5.291861664537985 E - 06 = 0.00014288026494252562$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列