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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.8888888888888888

r=1.8888888888888888

この級数の和は次のようになります:

s = 78

s=78

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{n - 1}

a_n=27*1.8888888888888888^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

27, 51, 96.33333333333333, 181.96296296296293, 343.7078189300411, 649.2258802011887, 1226.315551491134, 2316.3738194832536, 4375.372770135034, 8264.593010255065

27,51,96.33333333333333,181.96296296296293,343.7078189300411,649.2258802011887,1226.315551491134,2316.3738194832536,4375.372770135034,8264.593010255065

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{51}{27} = 1.8888888888888888$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.8888888888888888$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 27$ 、共通比数: $r = 1.8888888888888888$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 27 * ((1 - {1.8888888888888888}^{2}) / (1 - 1.8888888888888888))$

$s_{2} = 27 * ((1 - 3.567901234567901) / (1 - 1.8888888888888888))$

$s_{2} = 27 * (- 2.567901234567901 / (1 - 1.8888888888888888))$

$s_{2} = 27 * (- 2.567901234567901 / - 0.8888888888888888)$

$s_{2} = 27 \cdot 2.888888888888889$

$s_{2} = 78$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 27$ と共通比数: $r = 1.8888888888888888$ を数式に代入します。

$a_{n} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 27$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{2 - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{1} = 27 \cdot 1.8888888888888888 = 51$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{3 - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{2} = 27 \cdot 3.567901234567901 = 96.33333333333333$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{4 - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{3} = 27 \cdot 6.739368998628257 = 181.96296296296293$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{5 - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{4} = 27 \cdot 12.729919219631153 = 343.7078189300411$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{6 - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{5} = 27 \cdot 24.045402970414397 = 649.2258802011887$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{7 - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{6} = 27 \cdot 45.41909449967164 = 1226.315551491134$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{8 - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{7} = 27 \cdot 85.79162294382421 = 2316.3738194832536$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{9 - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{8} = 27 \cdot 162.0508433383346 = 4375.372770135034$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{10 - 1} = 27 \cdot {1.8888888888888888}^{9} = 27 \cdot 306.09603741685424 = 8264.593010255065$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列