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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.7037037037037037

r=1.7037037037037037

この級数の和は次のようになります:

s = 73

s=73

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{n - 1}

a_n=27*1.7037037037037037^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

27, 46, 78.37037037037037, 133.519890260631, 227.4783315551491, 387.55567598284665, 660.2800405633684, 1124.9215505894424, 1916.5330121153465, 3265.2043910113307

27,46,78.37037037037037,133.519890260631,227.4783315551491,387.55567598284665,660.2800405633684,1124.9215505894424,1916.5330121153465,3265.2043910113307

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{46}{27} = 1.7037037037037037$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.7037037037037037$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 27$ 、共通比数: $r = 1.7037037037037037$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 27 * ((1 - {1.7037037037037037}^{2}) / (1 - 1.7037037037037037))$

$s_{2} = 27 * ((1 - 2.9026063100137174) / (1 - 1.7037037037037037))$

$s_{2} = 27 * (- 1.9026063100137174 / (1 - 1.7037037037037037))$

$s_{2} = 27 * (- 1.9026063100137174 / - 0.7037037037037037)$

$s_{2} = 27 \cdot 2.7037037037037037$

$s_{2} = 73$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 27$ と共通比数: $r = 1.7037037037037037$ を数式に代入します。

$a_{n} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 27$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{2 - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{1} = 27 \cdot 1.7037037037037037 = 46$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{3 - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{2} = 27 \cdot 2.9026063100137174 = 78.37037037037037$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{4 - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{3} = 27 \cdot 4.945181120764111 = 133.519890260631$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{5 - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{4} = 27 \cdot 8.425123390931448 = 227.4783315551491$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{6 - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{5} = 27 \cdot 14.353913925290616 = 387.55567598284665$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{7 - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{6} = 27 \cdot 24.454816317161793 = 660.2800405633684$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{8 - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{7} = 27 \cdot 41.66376113294231 = 1124.9215505894424$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{9 - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{8} = 27 \cdot 70.98270415242024 = 1916.5330121153465$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{10 - 1} = 27 \cdot {1.7037037037037037}^{9} = 27 \cdot 120.93349596338263 = 3265.2043910113307$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列