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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.6296296296296295

r=1.6296296296296295

この級数の和は次のようになります:

s = 71

s=71

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{n - 1}

a_n=27*1.6296296296296295^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

27, 44, 71.7037037037037, 116.85048010973935, 190.42300462327893, 310.31897049719527, 505.7049889583923, 824.1118338581207, 1342.997062583604, 2188.5878056917986

27,44,71.7037037037037,116.85048010973935,190.42300462327893,310.31897049719527,505.7049889583923,824.1118338581207,1342.997062583604,2188.5878056917986

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{44}{27} = 1.6296296296296295$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.6296296296296295$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 27$ 、共通比数: $r = 1.6296296296296295$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 27 * ((1 - {1.6296296296296295}^{2}) / (1 - 1.6296296296296295))$

$s_{2} = 27 * ((1 - 2.6556927297668036) / (1 - 1.6296296296296295))$

$s_{2} = 27 * (- 1.6556927297668036 / (1 - 1.6296296296296295))$

$s_{2} = 27 * (- 1.6556927297668036 / - 0.6296296296296295)$

$s_{2} = 27 \cdot 2.6296296296296298$

$s_{2} = 71$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 27$ と共通比数: $r = 1.6296296296296295$ を数式に代入します。

$a_{n} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 27$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{2 - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{1} = 27 \cdot 1.6296296296296295 = 44$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{3 - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{2} = 27 \cdot 2.6556927297668036 = 71.7037037037037$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{4 - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{3} = 27 \cdot 4.327795559619976 = 116.85048010973935$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{5 - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{4} = 27 \cdot 7.052703874936257 = 190.42300462327893$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{6 - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{5} = 27 \cdot 11.493295203599825 = 310.31897049719527$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{7 - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{6} = 27 \cdot 18.72981440586638 = 505.7049889583923$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{8 - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{7} = 27 \cdot 30.52266051326373 = 824.1118338581207$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{9 - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{8} = 27 \cdot 49.74063194754089 = 1342.997062583604$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{10 - 1} = 27 \cdot {1.6296296296296295}^{9} = 27 \cdot 81.05880761821477 = 2188.5878056917986$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列