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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.0740740740740742

r=1.0740740740740742

この級数の和は次のようになります:

s = 56

s=56

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{n - 1}

a_n=27*1.0740740740740742^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

27, 29.000000000000004, 31.148148148148156, 33.455418381344316, 35.93359752070316, 38.595345485199694, 41.45425996558486, 44.52494588896152, 47.8230900288846, 51.36554114213532

27,29.000000000000004,31.148148148148156,33.455418381344316,35.93359752070316,38.595345485199694,41.45425996558486,44.52494588896152,47.8230900288846,51.36554114213532

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{29}{27} = 1.0740740740740742$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.0740740740740742$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 27$ 、共通比数: $r = 1.0740740740740742$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 27 * ((1 - {1.0740740740740742}^{2}) / (1 - 1.0740740740740742))$

$s_{2} = 27 * ((1 - 1.1536351165980798) / (1 - 1.0740740740740742))$

$s_{2} = 27 * (- 0.15363511659807982 / (1 - 1.0740740740740742))$

$s_{2} = 27 * (- 0.15363511659807982 / - 0.07407407407407418)$

$s_{2} = 27 \cdot 2.074074074074075$

$s_{2} = 56.00000000000002$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 27$ と共通比数: $r = 1.0740740740740742$ を数式に代入します。

$a_{n} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 27$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{2 - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{1} = 27 \cdot 1.0740740740740742 = 29.000000000000004$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{3 - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{2} = 27 \cdot 1.1536351165980798 = 31.148148148148156$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{4 - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{3} = 27 \cdot 1.239089569679419 = 33.455418381344316$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{5 - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{4} = 27 \cdot 1.3308739822482651 = 35.93359752070316$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{6 - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{5} = 27 \cdot 1.4294572401925811 = 38.595345485199694$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{7 - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{6} = 27 \cdot 1.535342961688328 = 41.45425996558486$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{8 - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{7} = 27 \cdot 1.6490720699615378 = 44.52494588896152$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{9 - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{8} = 27 \cdot 1.7712255566253556 = 47.8230900288846$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{10 - 1} = 27 \cdot {1.0740740740740742}^{9} = 27 \cdot 1.9024274497087155 = 51.36554114213532$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列