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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7407407407407407

r=0.7407407407407407

この級数の和は次のようになります:

s = 47

s=47

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{n - 1}

a_n=27*0.7407407407407407^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

27, 20, 14.814814814814813, 10.973936899862824, 8.128842148046536, 6.021364554108545, 4.460270040080403, 3.303903733392891, 2.4473360988095485, 1.8128415546737398

27,20,14.814814814814813,10.973936899862824,8.128842148046536,6.021364554108545,4.460270040080403,3.303903733392891,2.4473360988095485,1.8128415546737398

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{20}{27} = 0.7407407407407407$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7407407407407407$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 27$ 、共通比数: $r = 0.7407407407407407$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 27 * ((1 - {0.7407407407407407}^{2}) / (1 - 0.7407407407407407))$

$s_{2} = 27 * ((1 - 0.5486968449931412) / (1 - 0.7407407407407407))$

$s_{2} = 27 * (0.4513031550068588 / (1 - 0.7407407407407407))$

$s_{2} = 27 * (0.4513031550068588 / 0.2592592592592593)$

$s_{2} = 27 \cdot 1.740740740740741$

$s_{2} = 47.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 27$ と共通比数: $r = 0.7407407407407407$ を数式に代入します。

$a_{n} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 27$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{2 - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{1} = 27 \cdot 0.7407407407407407 = 20$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{3 - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{2} = 27 \cdot 0.5486968449931412 = 14.814814814814813$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{4 - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{3} = 27 \cdot 0.40644210740232684 = 10.973936899862824$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{5 - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{4} = 27 \cdot 0.30106822770542724 = 8.128842148046536$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{6 - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{5} = 27 \cdot 0.22301350200402018 = 6.021364554108545$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{7 - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{6} = 27 \cdot 0.16519518666964456 = 4.460270040080403$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{8 - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{7} = 27 \cdot 0.12236680494047744 = 3.303903733392891$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{9 - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{8} = 27 \cdot 0.09064207773368699 = 2.4473360988095485$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{10 - 1} = 27 \cdot {0.7407407407407407}^{9} = 27 \cdot 0.0671422798027311 = 1.8128415546737398$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列