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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.375

r=0.375

この級数の和は次のようになります:

s = 352

s=352

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 256 \cdot {0.375}^{n - 1}

a_n=256*0.375^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

256, 96, 36, 13.5, 5.0625, 1.8984375, 0.7119140625, 0.2669677734375, 0.1001129150390625, 0.03754234313964844

256,96,36,13.5,5.0625,1.8984375,0.7119140625,0.2669677734375,0.1001129150390625,0.03754234313964844

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{96}{256} = 0.375$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.375$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 256$ 、共通比数: $r = 0.375$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 256 * ((1 - {0.375}^{2}) / (1 - 0.375))$

$s_{2} = 256 * ((1 - 0.140625) / (1 - 0.375))$

$s_{2} = 256 * (0.859375 / (1 - 0.375))$

$s_{2} = 256 * (0.859375 / 0.625)$

$s_{2} = 256 \cdot 1.375$

$s_{2} = 352$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 256$ と共通比数: $r = 0.375$ を数式に代入します。

$a_{n} = 256 \cdot {0.375}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 256$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {0.375}^{2 - 1} = 256 \cdot {0.375}^{1} = 256 \cdot 0.375 = 96$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {0.375}^{3 - 1} = 256 \cdot {0.375}^{2} = 256 \cdot 0.140625 = 36$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {0.375}^{4 - 1} = 256 \cdot {0.375}^{3} = 256 \cdot 0.052734375 = 13.5$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {0.375}^{5 - 1} = 256 \cdot {0.375}^{4} = 256 \cdot 0.019775390625 = 5.0625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {0.375}^{6 - 1} = 256 \cdot {0.375}^{5} = 256 \cdot 0.007415771484375 = 1.8984375$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {0.375}^{7 - 1} = 256 \cdot {0.375}^{6} = 256 \cdot 0.002780914306640625 = 0.7119140625$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {0.375}^{8 - 1} = 256 \cdot {0.375}^{7} = 256 \cdot 0.0010428428649902344 = 0.2669677734375$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {0.375}^{9 - 1} = 256 \cdot {0.375}^{8} = 256 \cdot 0.0003910660743713379 = 0.1001129150390625$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {0.375}^{10 - 1} = 256 \cdot {0.375}^{9} = 256 \cdot 0.0001466497778892517 = 0.03754234313964844$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列