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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.140625

r=2.140625

この級数の和は次のようになります:

s = 804

s=804

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 256 \cdot {2.140625}^{n - 1}

a_n=256*2.140625^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

256, 548, 1173.0625, 2511.0869140625, 5375.295425415039, 11506.491770029068, 24631.083945218474, 52725.914070233295, 112866.40980659315, 241604.65849223846

256,548,1173.0625,2511.0869140625,5375.295425415039,11506.491770029068,24631.083945218474,52725.914070233295,112866.40980659315,241604.65849223846

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{548}{256} = 2.140625$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.140625$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 256$ 、共通比数: $r = 2.140625$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 256 * ((1 - {2.140625}^{2}) / (1 - 2.140625))$

$s_{2} = 256 * ((1 - 4.582275390625) / (1 - 2.140625))$

$s_{2} = 256 * (- 3.582275390625 / (1 - 2.140625))$

$s_{2} = 256 * (- 3.582275390625 / - 1.140625)$

$s_{2} = 256 \cdot 3.140625$

$s_{2} = 804$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 256$ と共通比数: $r = 2.140625$ を数式に代入します。

$a_{n} = 256 \cdot {2.140625}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 256$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{2 - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{1} = 256 \cdot 2.140625 = 548$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{3 - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{2} = 256 \cdot 4.582275390625 = 1173.0625$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{4 - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{3} = 256 \cdot 9.80893325805664 = 2511.0869140625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{5 - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{4} = 256 \cdot 20.997247755527496 = 5375.295425415039$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{6 - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{5} = 256 \cdot 44.94723347667605 = 11506.491770029068$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{7 - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{6} = 256 \cdot 96.21517166100966 = 24631.083945218474$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{8 - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{7} = 256 \cdot 205.9606018368488 = 52725.914070233295$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{9 - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{8} = 256 \cdot 440.8844133070045 = 112866.40980659315$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{10 - 1} = 256 \cdot {2.140625}^{9} = 256 \cdot 943.7681972353065 = 241604.65849223846$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列