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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.0416666666666665

r=2.0416666666666665

この級数の和は次のようになります:

s = 72

s=72

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{n - 1}

a_n=24*2.0416666666666665^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

24, 49, 100.04166666666664, 204.2517361111111, 417.01396122685173, 851.4035041714889, 1738.2821543501232, 3548.992731798168, 7245.860160754592, 14793.631161540625

24,49,100.04166666666664,204.2517361111111,417.01396122685173,851.4035041714889,1738.2821543501232,3548.992731798168,7245.860160754592,14793.631161540625

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{49}{24} = 2.0416666666666665$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.0416666666666665$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 24$ 、共通比数: $r = 2.0416666666666665$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 24 * ((1 - {2.0416666666666665}^{2}) / (1 - 2.0416666666666665))$

$s_{2} = 24 * ((1 - 4.168402777777777) / (1 - 2.0416666666666665))$

$s_{2} = 24 * (- 3.168402777777777 / (1 - 2.0416666666666665))$

$s_{2} = 24 * (- 3.168402777777777 / - 1.0416666666666665)$

$s_{2} = 24 \cdot 3.041666666666666$

$s_{2} = 72.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 24$ と共通比数: $r = 2.0416666666666665$ を数式に代入します。

$a_{n} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 24$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{2 - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{1} = 24 \cdot 2.0416666666666665 = 49$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{3 - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{2} = 24 \cdot 4.168402777777777 = 100.04166666666664$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{4 - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{3} = 24 \cdot 8.510489004629628 = 204.2517361111111$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{5 - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{4} = 24 \cdot 17.37558171778549 = 417.01396122685173$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{6 - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{5} = 24 \cdot 35.47514600714537 = 851.4035041714889$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{7 - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{6} = 24 \cdot 72.4284230979218 = 1738.2821543501232$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{8 - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{7} = 24 \cdot 147.874697158257 = 3548.992731798168$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{9 - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{8} = 24 \cdot 301.9108400314413 = 7245.860160754592$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{10 - 1} = 24 \cdot {2.0416666666666665}^{9} = 24 \cdot 616.401298397526 = 14793.631161540625$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列