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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.375

r=0.375

この級数の和は次のようになります:

s = 297

s=297

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 216 \cdot {0.375}^{n - 1}

a_n=216*0.375^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

216, 81, 30.375, 11.390625, 4.271484375, 1.601806640625, 0.600677490234375, 0.22525405883789062, 0.08447027206420898, 0.03167635202407837

216,81,30.375,11.390625,4.271484375,1.601806640625,0.600677490234375,0.22525405883789062,0.08447027206420898,0.03167635202407837

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{81}{216} = 0.375$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.375$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 216$ 、共通比数: $r = 0.375$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 216 * ((1 - {0.375}^{2}) / (1 - 0.375))$

$s_{2} = 216 * ((1 - 0.140625) / (1 - 0.375))$

$s_{2} = 216 * (0.859375 / (1 - 0.375))$

$s_{2} = 216 * (0.859375 / 0.625)$

$s_{2} = 216 \cdot 1.375$

$s_{2} = 297$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 216$ と共通比数: $r = 0.375$ を数式に代入します。

$a_{n} = 216 \cdot {0.375}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 216$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 216 \cdot {0.375}^{2 - 1} = 216 \cdot {0.375}^{1} = 216 \cdot 0.375 = 81$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 216 \cdot {0.375}^{3 - 1} = 216 \cdot {0.375}^{2} = 216 \cdot 0.140625 = 30.375$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 216 \cdot {0.375}^{4 - 1} = 216 \cdot {0.375}^{3} = 216 \cdot 0.052734375 = 11.390625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 216 \cdot {0.375}^{5 - 1} = 216 \cdot {0.375}^{4} = 216 \cdot 0.019775390625 = 4.271484375$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 216 \cdot {0.375}^{6 - 1} = 216 \cdot {0.375}^{5} = 216 \cdot 0.007415771484375 = 1.601806640625$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 216 \cdot {0.375}^{7 - 1} = 216 \cdot {0.375}^{6} = 216 \cdot 0.002780914306640625 = 0.600677490234375$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 216 \cdot {0.375}^{8 - 1} = 216 \cdot {0.375}^{7} = 216 \cdot 0.0010428428649902344 = 0.22525405883789062$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 216 \cdot {0.375}^{9 - 1} = 216 \cdot {0.375}^{8} = 216 \cdot 0.0003910660743713379 = 0.08447027206420898$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 216 \cdot {0.375}^{10 - 1} = 216 \cdot {0.375}^{9} = 216 \cdot 0.0001466497778892517 = 0.03167635202407837$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列