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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 4.0476190476190474

r=4.0476190476190474

この級数の和は次のようになります:

s = 106

s=106

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{n - 1}

a_n=21*4.0476190476190474^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

21, 85, 344.04761904761904, 1392.5736961451246, 5636.607817730266, 22814.841167003455, 92345.78567596636, 373780.56106938765, 1512921.318614188, 6123729.146771714

21,85,344.04761904761904,1392.5736961451246,5636.607817730266,22814.841167003455,92345.78567596636,373780.56106938765,1512921.318614188,6123729.146771714

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{85}{21} = 4.0476190476190474$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 4.0476190476190474$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 21$ 、共通比数: $r = 4.0476190476190474$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 21 * ((1 - {4.0476190476190474}^{2}) / (1 - 4.0476190476190474))$

$s_{2} = 21 * ((1 - 16.383219954648524) / (1 - 4.0476190476190474))$

$s_{2} = 21 * (- 15.383219954648524 / (1 - 4.0476190476190474))$

$s_{2} = 21 * (- 15.383219954648524 / - 3.0476190476190474)$

$s_{2} = 21 \cdot 5.0476190476190474$

$s_{2} = 106$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 21$ と共通比数: $r = 4.0476190476190474$ を数式に代入します。

$a_{n} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 21$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{2 - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{1} = 21 \cdot 4.0476190476190474 = 85$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{3 - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{2} = 21 \cdot 16.383219954648524 = 344.04761904761904$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{4 - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{3} = 21 \cdot 66.31303314976783 = 1392.5736961451246$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{5 - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{4} = 21 \cdot 268.40989608239363 = 5636.607817730266$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{6 - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{5} = 21 \cdot 1086.4210079525456 = 22814.841167003455$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{7 - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{6} = 21 \cdot 4397.418365522208 = 92345.78567596636$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{8 - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{7} = 21 \cdot 17799.074336637506 = 373780.56106938765$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{9 - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{8} = 21 \cdot 72043.87231496134 = 1512921.318614188$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{10 - 1} = 21 \cdot {4.0476190476190474}^{9} = 21 \cdot 291606.1498462721 = 6123729.146771714$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列