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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.8095238095238095

r=0.8095238095238095

この級数の和は次のようになります:

s = 38

s=38

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{n - 1}

a_n=21*0.8095238095238095^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

21, 17, 13.761904761904761, 11.140589569160998, 9.018572508368427, 7.300749173441108, 5.910130283261849, 4.784391181688164, 3.873078575652323, 3.1353493231471186

21,17,13.761904761904761,11.140589569160998,9.018572508368427,7.300749173441108,5.910130283261849,4.784391181688164,3.873078575652323,3.1353493231471186

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{17}{21} = 0.8095238095238095$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.8095238095238095$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 21$ 、共通比数: $r = 0.8095238095238095$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 21 * ((1 - {0.8095238095238095}^{2}) / (1 - 0.8095238095238095))$

$s_{2} = 21 * ((1 - 0.655328798185941) / (1 - 0.8095238095238095))$

$s_{2} = 21 * (0.34467120181405897 / (1 - 0.8095238095238095))$

$s_{2} = 21 * (0.34467120181405897 / 0.19047619047619047)$

$s_{2} = 21 \cdot 1.8095238095238098$

$s_{2} = 38.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 21$ と共通比数: $r = 0.8095238095238095$ を数式に代入します。

$a_{n} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 21$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{2 - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{1} = 21 \cdot 0.8095238095238095 = 17$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{3 - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{2} = 21 \cdot 0.655328798185941 = 13.761904761904761$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{4 - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{3} = 21 \cdot 0.5305042651981428 = 11.140589569160998$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{5 - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{4} = 21 \cdot 0.4294558337318299 = 9.018572508368427$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{6 - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{5} = 21 \cdot 0.34765472254481466 = 7.300749173441108$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{7 - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{6} = 21 \cdot 0.2814347753934214 = 5.910130283261849$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{8 - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{7} = 21 \cdot 0.22782815150896019 = 4.784391181688164$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{9 - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{8} = 21 \cdot 0.1844323131263011 = 3.873078575652323$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{10 - 1} = 21 \cdot {0.8095238095238095}^{9} = 21 \cdot 0.14930234872129136 = 3.1353493231471186$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列