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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7142857142857143

r=0.7142857142857143

この級数の和は次のようになります:

s = 36

s=36

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{n - 1}

a_n=21*0.7142857142857143^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

21, 15, 10.714285714285715, 7.653061224489797, 5.466472303206998, 3.904623073719284, 2.78901648122806, 1.9921546294486145, 1.422967592463296, 1.0164054231880686

21,15,10.714285714285715,7.653061224489797,5.466472303206998,3.904623073719284,2.78901648122806,1.9921546294486145,1.422967592463296,1.0164054231880686

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{15}{21} = 0.7142857142857143$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7142857142857143$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 21$ 、共通比数: $r = 0.7142857142857143$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 21 * ((1 - {0.7142857142857143}^{2}) / (1 - 0.7142857142857143))$

$s_{2} = 21 * ((1 - 0.5102040816326531) / (1 - 0.7142857142857143))$

$s_{2} = 21 * (0.4897959183673469 / (1 - 0.7142857142857143))$

$s_{2} = 21 * (0.4897959183673469 / 0.2857142857142857)$

$s_{2} = 21 \cdot 1.7142857142857144$

$s_{2} = 36$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 21$ と共通比数: $r = 0.7142857142857143$ を数式に代入します。

$a_{n} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 21$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{2 - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{1} = 21 \cdot 0.7142857142857143 = 15$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{3 - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{2} = 21 \cdot 0.5102040816326531 = 10.714285714285715$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{4 - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{3} = 21 \cdot 0.3644314868804665 = 7.653061224489797$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{5 - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{4} = 21 \cdot 0.2603082049146189 = 5.466472303206998$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{6 - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{5} = 21 \cdot 0.18593443208187066 = 3.904623073719284$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{7 - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{6} = 21 \cdot 0.13281030862990761 = 2.78901648122806$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{8 - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{7} = 21 \cdot 0.09486450616421974 = 1.9921546294486145$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{9 - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{8} = 21 \cdot 0.06776036154587124 = 1.422967592463296$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{10 - 1} = 21 \cdot {0.7142857142857143}^{9} = 21 \cdot 0.04840025824705089 = 1.0164054231880686$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列