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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6190476190476191

r=0.6190476190476191

この級数の和は次のようになります:

s = 34

s=34

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{n - 1}

a_n=21*0.6190476190476191^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

21, 13, 8.047619047619047, 4.98185941043084, 3.0840082064571868, 1.9091479373306393, 1.1818534850142053, 0.7316235859611747, 0.4529098389283463, 0.28037275743183343

21,13,8.047619047619047,4.98185941043084,3.0840082064571868,1.9091479373306393,1.1818534850142053,0.7316235859611747,0.4529098389283463,0.28037275743183343

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{13}{21} = 0.6190476190476191$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6190476190476191$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 21$ 、共通比数: $r = 0.6190476190476191$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 21 * ((1 - {0.6190476190476191}^{2}) / (1 - 0.6190476190476191))$

$s_{2} = 21 * ((1 - 0.3832199546485261) / (1 - 0.6190476190476191))$

$s_{2} = 21 * (0.6167800453514739 / (1 - 0.6190476190476191))$

$s_{2} = 21 * (0.6167800453514739 / 0.38095238095238093)$

$s_{2} = 21 \cdot 1.619047619047619$

$s_{2} = 34$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 21$ と共通比数: $r = 0.6190476190476191$ を数式に代入します。

$a_{n} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 21$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{2 - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{1} = 21 \cdot 0.6190476190476191 = 13$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{3 - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{2} = 21 \cdot 0.3832199546485261 = 8.047619047619047$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{4 - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{3} = 21 \cdot 0.23723140049670666 = 4.98185941043084$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{5 - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{4} = 21 \cdot 0.1468575336408184 = 3.0840082064571868$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{6 - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{5} = 21 \cdot 0.09091180653955425 = 1.9091479373306393$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{7 - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{6} = 21 \cdot 0.05627873738162883 = 1.1818534850142053$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{8 - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{7} = 21 \cdot 0.03483921837910356 = 0.7316235859611747$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{9 - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{8} = 21 \cdot 0.02156713518706411 = 0.4529098389283463$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{10 - 1} = 21 \cdot {0.6190476190476191}^{9} = 21 \cdot 0.013351083687230163 = 0.28037275743183343$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列