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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.45

r=0.45

この級数の和は次のようになります:

s = 290

s=290

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 200 \cdot {0.45}^{n - 1}

a_n=200*0.45^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

200, 90, 40.5, 18.225, 8.20125, 3.6905625000000004, 1.6607531250000003, 0.7473389062500001, 0.3363025078125001, 0.15133612851562503

200,90,40.5,18.225,8.20125,3.6905625000000004,1.6607531250000003,0.7473389062500001,0.3363025078125001,0.15133612851562503

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{90}{200} = 0.45$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.45$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 200$ 、共通比数: $r = 0.45$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 200 * ((1 - {0.45}^{2}) / (1 - 0.45))$

$s_{2} = 200 * ((1 - 0.2025) / (1 - 0.45))$

$s_{2} = 200 * (0.7975 / (1 - 0.45))$

$s_{2} = 200 * (0.7975 / 0.55)$

$s_{2} = 200 \cdot 1.45$

$s_{2} = 290$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 200$ と共通比数: $r = 0.45$ を数式に代入します。

$a_{n} = 200 \cdot {0.45}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 200$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {0.45}^{2 - 1} = 200 \cdot {0.45}^{1} = 200 \cdot 0.45 = 90$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {0.45}^{3 - 1} = 200 \cdot {0.45}^{2} = 200 \cdot 0.2025 = 40.5$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {0.45}^{4 - 1} = 200 \cdot {0.45}^{3} = 200 \cdot 0.09112500000000001 = 18.225$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {0.45}^{5 - 1} = 200 \cdot {0.45}^{4} = 200 \cdot 0.04100625 = 8.20125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {0.45}^{6 - 1} = 200 \cdot {0.45}^{5} = 200 \cdot 0.018452812500000002 = 3.6905625000000004$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {0.45}^{7 - 1} = 200 \cdot {0.45}^{6} = 200 \cdot 0.008303765625 = 1.6607531250000003$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {0.45}^{8 - 1} = 200 \cdot {0.45}^{7} = 200 \cdot 0.0037366945312500006 = 0.7473389062500001$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {0.45}^{9 - 1} = 200 \cdot {0.45}^{8} = 200 \cdot 0.0016815125390625004 = 0.3363025078125001$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {0.45}^{10 - 1} = 200 \cdot {0.45}^{9} = 200 \cdot 0.0007566806425781252 = 0.15133612851562503$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列