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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.9

r=2.9

この級数の和は次のようになります:

s = 78

s=78

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 20 \cdot {2.9}^{n - 1}

a_n=20*2.9^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

20, 58, 168.2, 487.78, 1414.562, 4102.229799999999, 11896.466419999997, 34499.75261799999, 100049.28259219998, 290142.91951737995

20,58,168.2,487.78,1414.562,4102.229799999999,11896.466419999997,34499.75261799999,100049.28259219998,290142.91951737995

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{58}{20} = 2.9$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.9$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 20$ 、共通比数: $r = 2.9$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 20 * ((1 - {2.9}^{2}) / (1 - 2.9))$

$s_{2} = 20 * ((1 - 8.41) / (1 - 2.9))$

$s_{2} = 20 * (- 7.41 / (1 - 2.9))$

$s_{2} = 20 * (- 7.41 / - 1.9)$

$s_{2} = 20 \cdot 3.9000000000000004$

$s_{2} = 78$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 20$ と共通比数: $r = 2.9$ を数式に代入します。

$a_{n} = 20 \cdot {2.9}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 20$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.9}^{2 - 1} = 20 \cdot {2.9}^{1} = 20 \cdot 2.9 = 58$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.9}^{3 - 1} = 20 \cdot {2.9}^{2} = 20 \cdot 8.41 = 168.2$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.9}^{4 - 1} = 20 \cdot {2.9}^{3} = 20 \cdot 24.389 = 487.78$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.9}^{5 - 1} = 20 \cdot {2.9}^{4} = 20 \cdot 70.7281 = 1414.562$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.9}^{6 - 1} = 20 \cdot {2.9}^{5} = 20 \cdot 205.11148999999997 = 4102.229799999999$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.9}^{7 - 1} = 20 \cdot {2.9}^{6} = 20 \cdot 594.8233209999999 = 11896.466419999997$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.9}^{8 - 1} = 20 \cdot {2.9}^{7} = 20 \cdot 1724.9876308999997 = 34499.75261799999$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.9}^{9 - 1} = 20 \cdot {2.9}^{8} = 20 \cdot 5002.464129609999 = 100049.28259219998$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.9}^{10 - 1} = 20 \cdot {2.9}^{9} = 20 \cdot 14507.145975868996 = 290142.91951737995$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列