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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.25

r=2.25

この級数の和は次のようになります:

s = 65

s=65

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 20 \cdot {2.25}^{n - 1}

a_n=20*2.25^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

20, 45, 101.25, 227.8125, 512.578125, 1153.30078125, 2594.9267578125, 5838.585205078125, 13136.816711425781, 29557.837600708008

20,45,101.25,227.8125,512.578125,1153.30078125,2594.9267578125,5838.585205078125,13136.816711425781,29557.837600708008

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{45}{20} = 2.25$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.25$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 20$ 、共通比数: $r = 2.25$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 20 * ((1 - {2.25}^{2}) / (1 - 2.25))$

$s_{2} = 20 * ((1 - 5.0625) / (1 - 2.25))$

$s_{2} = 20 * (- 4.0625 / (1 - 2.25))$

$s_{2} = 20 * (- 4.0625 / - 1.25)$

$s_{2} = 20 \cdot 3.25$

$s_{2} = 65$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 20$ と共通比数: $r = 2.25$ を数式に代入します。

$a_{n} = 20 \cdot {2.25}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 20$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.25}^{2 - 1} = 20 \cdot {2.25}^{1} = 20 \cdot 2.25 = 45$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.25}^{3 - 1} = 20 \cdot {2.25}^{2} = 20 \cdot 5.0625 = 101.25$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.25}^{4 - 1} = 20 \cdot {2.25}^{3} = 20 \cdot 11.390625 = 227.8125$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.25}^{5 - 1} = 20 \cdot {2.25}^{4} = 20 \cdot 25.62890625 = 512.578125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.25}^{6 - 1} = 20 \cdot {2.25}^{5} = 20 \cdot 57.6650390625 = 1153.30078125$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.25}^{7 - 1} = 20 \cdot {2.25}^{6} = 20 \cdot 129.746337890625 = 2594.9267578125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.25}^{8 - 1} = 20 \cdot {2.25}^{7} = 20 \cdot 291.92926025390625 = 5838.585205078125$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.25}^{9 - 1} = 20 \cdot {2.25}^{8} = 20 \cdot 656.8408355712891 = 13136.816711425781$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {2.25}^{10 - 1} = 20 \cdot {2.25}^{9} = 20 \cdot 1477.8918800354004 = 29557.837600708008$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列