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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.9

r=1.9

この級数の和は次のようになります:

s = 58

s=58

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 20 \cdot {1.9}^{n - 1}

a_n=20*1.9^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

20, 38, 72.2, 137.17999999999998, 260.64199999999994, 495.21979999999985, 940.9176199999997, 1787.7434779999994, 3396.7126081999986, 6453.753955579997

20,38,72.2,137.17999999999998,260.64199999999994,495.21979999999985,940.9176199999997,1787.7434779999994,3396.7126081999986,6453.753955579997

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{38}{20} = 1.9$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.9$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 20$ 、共通比数: $r = 1.9$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 20 * ((1 - {1.9}^{2}) / (1 - 1.9))$

$s_{2} = 20 * ((1 - 3.61) / (1 - 1.9))$

$s_{2} = 20 * (- 2.61 / (1 - 1.9))$

$s_{2} = 20 * (- 2.61 / - 0.8999999999999999)$

$s_{2} = 20 \cdot 2.9000000000000004$

$s_{2} = 58.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 20$ と共通比数: $r = 1.9$ を数式に代入します。

$a_{n} = 20 \cdot {1.9}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 20$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.9}^{2 - 1} = 20 \cdot {1.9}^{1} = 20 \cdot 1.9 = 38$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.9}^{3 - 1} = 20 \cdot {1.9}^{2} = 20 \cdot 3.61 = 72.2$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.9}^{4 - 1} = 20 \cdot {1.9}^{3} = 20 \cdot 6.858999999999999 = 137.17999999999998$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.9}^{5 - 1} = 20 \cdot {1.9}^{4} = 20 \cdot 13.032099999999998 = 260.64199999999994$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.9}^{6 - 1} = 20 \cdot {1.9}^{5} = 20 \cdot 24.760989999999993 = 495.21979999999985$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.9}^{7 - 1} = 20 \cdot {1.9}^{6} = 20 \cdot 47.04588099999999 = 940.9176199999997$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.9}^{8 - 1} = 20 \cdot {1.9}^{7} = 20 \cdot 89.38717389999996 = 1787.7434779999994$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.9}^{9 - 1} = 20 \cdot {1.9}^{8} = 20 \cdot 169.83563040999994 = 3396.7126081999986$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.9}^{10 - 1} = 20 \cdot {1.9}^{9} = 20 \cdot 322.68769777899985 = 6453.753955579997$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列