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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.8

r=1.8

この級数の和は次のようになります:

s = 56

s=56

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 20 \cdot {1.8}^{n - 1}

a_n=20*1.8^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

20, 36, 64.80000000000001, 116.64000000000001, 209.952, 377.91360000000003, 680.2444800000001, 1224.4400640000001, 2203.9921152000006, 3967.185807360001

20,36,64.80000000000001,116.64000000000001,209.952,377.91360000000003,680.2444800000001,1224.4400640000001,2203.9921152000006,3967.185807360001

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{36}{20} = 1.8$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.8$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 20$ 、共通比数: $r = 1.8$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 20 * ((1 - {1.8}^{2}) / (1 - 1.8))$

$s_{2} = 20 * ((1 - 3.24) / (1 - 1.8))$

$s_{2} = 20 * (- 2.24 / (1 - 1.8))$

$s_{2} = 20 * (- 2.24 / - 0.8)$

$s_{2} = 20 \cdot 2.8000000000000003$

$s_{2} = 56.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 20$ と共通比数: $r = 1.8$ を数式に代入します。

$a_{n} = 20 \cdot {1.8}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 20$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.8}^{2 - 1} = 20 \cdot {1.8}^{1} = 20 \cdot 1.8 = 36$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.8}^{3 - 1} = 20 \cdot {1.8}^{2} = 20 \cdot 3.24 = 64.80000000000001$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.8}^{4 - 1} = 20 \cdot {1.8}^{3} = 20 \cdot 5.832000000000001 = 116.64000000000001$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.8}^{5 - 1} = 20 \cdot {1.8}^{4} = 20 \cdot 10.4976 = 209.952$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.8}^{6 - 1} = 20 \cdot {1.8}^{5} = 20 \cdot 18.895680000000002 = 377.91360000000003$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.8}^{7 - 1} = 20 \cdot {1.8}^{6} = 20 \cdot 34.012224 = 680.2444800000001$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.8}^{8 - 1} = 20 \cdot {1.8}^{7} = 20 \cdot 61.22200320000001 = 1224.4400640000001$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.8}^{9 - 1} = 20 \cdot {1.8}^{8} = 20 \cdot 110.19960576000003 = 2203.9921152000006$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 20 \cdot {1.8}^{10 - 1} = 20 \cdot {1.8}^{9} = 20 \cdot 198.35929036800005 = 3967.185807360001$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列